Обем на сфера описана около пирамида

[Гост]

Основата на пирамида е равностранен триъгълник със страна $a$.Височината на пирамидата минава през средата на един основен ръб и е с дължина [tex]\frac{3}{2}a[/tex].Намерете обема на сферата описана около пирамидата.

[Davids]

Pyramid_Sphere.png (56.57 KiB) Прегледано 266 пъти

Точка $O$ е центърът на сферата - пресечната точка между перпендикулярите от центъра на описаните окръжности на стените в равнините $(ABC)$ и $(ABM)$ към самите равнини.
Разглеждаме $\triangle ABM$, където по питагорова теорема намираме $AM = BM = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{3a}{2})^2} = \frac{\sqrt{10}}{2}a$
Така имаме $S_{ABM} = \frac{a.\frac{3}{2}a}{2} = \frac{3a^2}{4}$, но и $S_{ABM} = \frac{AM.BM.AB}{4R_{ABM}}$
$\Rightarrow R_{ABM} = O_2M = \frac{\frac{10a^2}{4}.a}{3a^2} = \frac{5}{6}a$

Значи $DO_2 = OO_1 = (\frac{3}{2} - \frac{5}{6})a = \frac{2}{3}a$

Построяваме $AO_1 = \frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}a = R_{ABC}$

Радиусът на описаната около пирамидата сфера остана да намерим по питагорова теорема от $\triangle AO_1O$:
$R = \sqrt{OO_1^2 + AO_1^2} = \sqrt{(\frac{2}{3}a)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2} = \frac{\sqrt{7}}{3}a$

И обемът на сферата остава да е $\boxed{V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{28\sqrt{7}}{81}\pi a^3}$

Ако не съм объркал сметките... но схващаш идеята

[S.B.]

Без заглавие (3).png (539.72 KiB) Прегледано 264 пъти

Основата на пирамида е равностранен триъгълник със страна $a$.Височината на пирамидата минава през средата на един основен ръб и е с дължина [tex]\frac{3}{2}a[/tex].Намерете обема на сферата описана около пирамидата.

Центъра $О$ на описаната около пирамидата $ABCD$ сфера е пресечната точка на перпендикулярите издигнати от центъра $O1$ на описаната около стената $BCD$ окръжност и центъра $O2$ на описаната около основата $ABC$ окръжност.
Решаване на стената $BCD$:
$BCD$ е равнобедрен триъгълник с основа $BC = a$ и височина $DH = \frac{3}{2}a ,DD1_{1 } = 2r_{1 }$,където $r_{1 }$ е радиуса на описаната около $\triangle BCD$ окръжност.$DH = \frac{3}{2}a , HD_{1 }= 2r_{1 } - \frac{2}{3}a, DD_{1 } $ е диаметър $\Rightarrow \triangle DD_{1 }B$ е правоъгълен и по Питагор $HB^{2} = DH.HD_{1 } \Leftrightarrow (\frac{a}{2})^{2} = \frac{3a}{2}(2r_{1 } - \frac{3a}{2} \Rightarrow r_{1 } = \frac{5}{6}a , HO_{1 } = \frac{3a}{2} - \frac{5a}{6} = \frac{2a}{3}$
Решаване на основата $ABC$:
$AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} , r_{2 } = \frac{a\sqrt{3}}{3} , HO_{2 } = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
Решаване на сечението на голямата окръжност:
От $\triangle OO_{1 }D$ по Питагор $OD^{2} = O_{1 }D^{2} + OO_{1 }^{2} \Leftrightarrow R^{2} = (\frac{a\sqrt{3}}{6})^{2} + (\frac{5a}{6})^{2} \Rightarrow R= \frac{a\sqrt{7}}{3}$
Обема на сферата :
$V = \frac{4}{3}\pi R^{3} \Leftrightarrow \frac{4}{3}\pi (\frac{a\sqrt{7}}{3})^{3}$
$$ V = \frac{28}{81}\pi a^{3}\sqrt{7}$$

[Knowledge Greedy]

Трябва да открием центъра [tex]O[/tex] на сферата описана около пирамидата.
Нека [tex]G[/tex] е център на основата [tex]\triangle ABC[/tex], височината е [tex]DN[/tex], като точката [tex]N[/tex] e средата на основния ръб [tex]BC[/tex].
Точката [tex]O[/tex] принадлежи на права [tex]g[/tex], перпендикулярна на равнината на равностранния триъгълник и минаваща през неговия център [tex]G[/tex] (тази права е пресечница на три от шестте симетрални равнини на ръбовете на пирамидата.
Второто множество от точки, което съдържа [tex]O[/tex] е симетралната равнина [tex]\delta[/tex] на околния ръб [tex]DA[/tex].
Нека [tex]R[/tex] е радиусът на сферата описана около пирамидата.
Използваме чертеж в равнина [tex]\alpha[/tex] през точките [tex]A, N[/tex] и [tex]D[/tex].
Явно [tex]\alpha[/tex] съдържа [tex]G[/tex], защото [tex]G\in g[/tex]
В [tex]\alpha[/tex] се намира също средата [tex]M[/tex] на [tex]DA[/tex], значи и правата [tex]s_{DA}[/tex] - симетрала на [tex]DA[/tex].
Явно [tex]\alpha \bot \delta[/tex], защото съдържа [tex]DN\bot \delta[/tex].
И накрая - в [tex]\alpha[/tex] са и два от радиусите [tex]OA=OD=R[/tex] на сферата.

Реализацията може да осъществим с метод на координатите.

Нека [tex]NA^{\rightarrow}[/tex] е абсцисната ос, [tex]ND^{\rightarrow}[/tex] е ординатната ос.
Правата [tex]AD[/tex] има отрезово уравнение [tex]AD: \frac{x}{a\sqrt{3}/2}+\frac{y}{3a/2}=1[/tex]

Местоположението на центъра O.png (6.66 KiB) Прегледано 242 пъти

[tex]M\left (\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{3a}{4} \right )[/tex]
[tex]s_{AD}: \frac{\sqrt{3}}{2} \left (x-\frac{a\sqrt{3}}{4}\right )-\frac{3}{2} \left (y-\frac{3a}{4} \right )=0[/tex]
[tex]g:x =\frac{a\sqrt{3}}{6}[/tex]
Пресичаме симетралата [tex]s_{AD}[/tex] с правата [tex]g[/tex], т.е. решаваме системата
[tex]\begin{array}{|l} \frac{\sqrt{3}}{2} \left (x-\frac{a\sqrt{3}}{4}\right )-\frac{3}{2} \left (y-\frac{3a}{4} \right )=0 \\ x = \frac{a\sqrt{3}}{6} \end{array}[/tex]
[tex]O\left (\frac{a\sqrt{3}}{6}; \frac{2a}{3} \right )[/tex]
[tex]OD^2=\left ( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right )^2+\left (\frac{2a}{3}-\frac{3a}{2} \right )^2[/tex]
[tex]R=\frac{a\sqrt{7}}{3}[/tex]
Остана обемът на кълбото.
______________
Има и една терминологична забележка. Казва се обем на кълбо.
Ако употребяваме сфера, трябва да подчертаем - да се намери обема на частта от пространството, заградена от сферата... .