Система

[Гост]

Намерете всички значения на параметъра а при които системата:
[tex]\begin{array}{|l} (x + ay-5)(x + ay-5a) = 0 \\ x^2 + y^2 = 16 \end{array}[/tex]
има точно 4 различни решения.

[S.B.]

Намерете всички значения на параметъра а при които системата:
[tex]\begin{array}{|l} (x + ay-5)(x + ay-5a) = 0 \\ x^2 + y^2 = 16 \end{array}[/tex]
има точно 4 различни решения.

Сиситемата се разпада на две системаи:
1) [tex]\begin{array}{|l} x + ay - 5 = 0\\ x^{2} + y^{2} = 16 \end{array}[/tex] и 2) [tex]\begin{array}{|l} x + ay - 5a = 0 \\ x^{2} + y^{2} = 16\end{array}[/tex]

1)[tex]\begin{array}{|l} x + ay - 5 = 0\\ x^{2} + y^{2} = 16 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = 5 - ay \\ x^{2} + y^{2} = 16\end{array} \Rightarrow (5 - ay)^{2} + y^{2 } = 16 \Leftrightarrow a^{2}y^{2} - 10ay + 9 = 0[/tex]
За $a = 0 $ очевидно няма решение.
Нека $a \ne 0$
$D = 100a^{2} - 36a^{2} = 64a^{2} > 0 $ за $\forall a \ne 0 , y_{1 , 2} = \frac{10a \pm 8a}{2a^{2}}$
За $\forall a \ne 0 ,y_{1 } = \frac{9}{a} x_{1 } = 5 - a.\frac{9}{a} = - 4 ; y_{2 } = \frac{1}{a} x_{2 } = 5 - a.\frac{1}{a} = 4$
$$ x_{1 } = -4,y_{1 } = \frac{9}{a} ; x_{2 } = 4 , y_{2 } = \frac{1}{a} , за \forall a \ne0 $$

2) [tex]\begin{array}{|l} x + ay - 5a = 0\\ x^{2} + y^{2} = 16 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = 5a - ay \\x^{2} + y^{2} = 16\end{array}
\Rightarrow (5a - ay)^{2} + y^{2} = 16 \Leftrightarrow[/tex]
$(a^{2} + 1)y^{2} - 10a^{2}y + (25a^{2} - 16) = 0$
$ a^{2} + 1 > 0$ за $\forall a$ $D = 64 - 36a^{2} > 0 \Leftrightarrow (\frac{4}{3} + a)(\frac{4}{3} - a) > 0 \Rightarrow a < \frac{4}{3}$
За $$ a \in (- \infty ; \frac{4}{3}) , y_{3,4 } = \frac{5a^{2} \pm\sqrt{16 - 9a^{2}}}{a^{2} + 1}$$ , съответно $$ x_{3,4 } = 5a - a.y_{3,4 }$$