Прав кръгов конус

[Гост]

Даден е прав кръгов конус с радиус на основата 4 cm
и височина 6 cm.
В конуса е вписан прав кръгов цилиндър с най-голям възможен обем
така, че едната основа на цилиндъра лежи в основата на конуса, а
окръжността на другата основа лежи на околната повърхнина на конуса.
Да се намери височината на цилиндъра

[S.B.]

Без заглавие (40).png (262.73 KiB) Прегледано 1043 пъти

Даден е прав кръгов конус с радиус на основата 4 cm
и височина 6 cm.
В конуса е вписан прав кръгов цилиндър с най-голям възможен обем
така, че едната основа на цилиндъра лежи в основата на конуса, а
окръжността на другата основа лежи на околната повърхнина на конуса.
Да се намери височината на цилиндъра

Обемът на цилиндъра е [tex]V = \pi r^{2} h[/tex]
Представям обема на цилиндъра като функция на радиуса му :[tex]V (r) = \pi r^{2}.h[/tex] където $h$ е височината му.
От чертежа :$ \triangle OBC \approx \triangle O_{1 }PC \Rightarrow \frac{OB}{O_{1 }P} = \frac{OC}{O_{1 }C} \Leftrightarrow \frac{4}{r} = \frac{6}{6 - h} \Rightarrow h = 6 - \frac{3}{2}r$
Като заместим и преработим функцията $V(r)$ придобива вида :$V(r) = - \frac{3}{2}\pi r^{3} + 6\pi r^{2}$ където $r \in(0 ; 4)$
Намирам първата производна:$V'(r) = -\frac{9}{2}\pi r^{2} + 12\pi r$
$V'(r) = 0 \Leftrightarrow 3\pi r( - \frac{3}{2}r + 4) = 0 ; 3\pi r \ne 0 \Rightarrow - \frac{3}{2}r + 4 = 0 \Rightarrow r = \frac{8}{3}= 2\frac{2}{3}\in (0 ; 4)$
Получихме ,че за $r = \frac{8}{3}$ обема има екстремална стойност;
$V''(r) = - 9\pi r + 12\pi , V''(\frac{8}{3}) = - 24\pi + 12\pi = -12\pi < 0 \Rightarrow$ за $r = \frac{8}{3}$ обема на цилиндъра е максимален
$$ h = 6 - \frac{3}{2}r = 6 - \frac{3}{2}.\frac{8}{3} = 6 - 4 = 2$$