Помощ за задачата в снимката

[Гост]

Screenshot_5.png (52.13 KiB) Прегледано 259 пъти

[Knowledge Greedy]

Ъглополовяща и описана окръжност около правоъгълен.png (4.32 KiB) Прегледано 251 пъти

Със свойството на хордите през една точка [tex]CL.ML=AL.BL[/tex], след като знаем [tex]CL=\frac{\sqrt{2}ab}{a+b}[/tex] [tex](\ast)[/tex]
и [tex]AL=\frac{bc}{a+b}[/tex],

[tex]BL=\frac{ac}{a+b}[/tex],
където по Питагор [tex]c=\sqrt{a^2+b^2}[/tex], и
намираме
[tex]ML[/tex],

а от него [tex]CM=CL+ML[/tex].
Окончателно, с формулата [tex]S_{\triangle ACM}=\frac{1}{2}CA.CM.sin45^\circ[/tex]
откриваме отговора
[tex]S_{\triangle ACM}=\frac{ab^2+bc^2}{2(a+b)}[/tex]
___________
[tex](\ast)[/tex] е формулата [tex]CL=\frac{2ab}{a+b}cos\frac{\gamma}{2}[/tex] за дължината на ъглополовящата.

[KOPMOPAH]

Правоъгълен триъгълник и ъглополовяща.png (10.44 KiB) Прегледано 233 пъти

Задачата може да се реши и така:
$$S_{AMC}=S_{AML}+S_{ALC}=\frac 12AL.\frac c2+\frac 12 AL.h_c$$ Като вземем предвид, че$$h_c= \frac {ab}c, ~~~~~~AL=\frac{bc}{a+b}$$горната формула придобива вида$$S_{AMC}=\frac 12.\frac{bc}{a+b}.\frac c2+\frac 12.\frac{bc}{a+b}.\frac {ab}c=$$
$$=\frac{bc}{2(a+b)}.\Big(\frac c2+\frac {ab}c\Big)=$$
$$=\frac{b\cancel{c}}{2(a+b)}.\frac{a^2+b^2+2ab}{2\cancel{c}}=$$
$$=\frac{b}{2\cancel{(a+b)}}.\frac{(a+b)^{\cancel{2}}}{2}= \frac {b(a+b)}4$$