Помощ за задачите в снимките

[Гост]

Screenshot_10.png (116.67 KiB) Прегледано 316 пъти

Screenshot_9.png (77.84 KiB) Прегледано 316 пъти

[peyo]

Много добре. Да решим задача 28 по метода на унарната бройна система в групи по 5.

Код: Избери целия код

         1        |         |         |         40
ученици  ****@****@****@****@****@****@****@****@
нищо     00000
плуват        ****@****@****@****@****@****@
италиано              ****@****@****@****@****@**
пл+ит                  ---->---->---->---->-
                       1                   21
 
 

И така отговора като преброим е 21.

[Davids]

Много добре. Да решим задача 28 по метода на унарната бройна система в групи по 5.

Код: Избери целия код

         1        |         |         |         40
ученици  ****@****@****@****@****@****@****@****@
нищо     00000
плуват        ****@****@****@****@****@****@
италиано              ****@****@****@****@****@**
пл+ит                  ---->---->---->---->-
                       1                   21
 
 

И така отговора като преброим е 21.

Аз обаче получавам 22-ма по следния начин:
Нека с $x$ означим търсения брой двустранно надарени деца Тогава 30 ще могат да плуват, включени в тях ще бъдат и $x$-те на брой плуващи И италианознаещи. Тогава само италианознаещи ще са $27 - x$ на брой. Събрани с петимата мързеливковци, това ни дава общо 40 ученици. Или: $30 + 27 - x + 5 = 40 \Rightarrow x = 22$... Или бъркам някъде?

[Davids]

29. Нека радиуса на цилиндъра означим с $r$, височината му с $h$, а радиуса на кълбото с $R$. Тогава $S = 2\pi rh$, $V_{ц} = \pi r^2h$, а пък обемът на кълбото ще е $V_{к} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Така търсеното отношение става $P = \frac{\pi r^2 h}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3r^2h}{4R^3}$.

Цилиндърът е с максимална околна повърхнина, тоест търсим $S_{max} = (2\pi rh)_{max} \sim (rh)_{max}$.

По Питагорова теорема от вписания цилиндър имаме елементарната зависимост:
$R^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$

Разширяваме до $R^2 = (r^2 - rh + \frac{h^2}{4}) + rh = (r - \frac{h}{2})^2 + rh$
$\Rightarrow rh = R^2 - (r - \frac{h}{2})^2$
Понеже дясната страна представлява изваждане на неотрицателна стойност от неотрицателна стойност, то неин максимум постигаме, когато умалителят е нула, т.е. $r = \frac{h}{2}$, и това ни дефинира търсения цилиндър.

Заместваме в $R^2 = 2r^2 = \frac{h^2}{2}$.

Тогава $R^3 = R^2.R = 2r^2.\frac{h}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}r^2h$ и търсеното отношение става $P = \frac{3r^2h}{4R^3} = \frac{3\cancel{r^2h}}{4\sqrt{2}\cancel{r^2h}} = \boxed{\frac{3\sqrt{2}}{8}}$

[peyo]

...
Аз обаче получавам 22-ма по следния начин:
...

Моя грешка. Сега като погледнах редовете италиано и пл+ит точките не започват от същата позиция. Ето така вече е правилно и е 22:

Код: Избери целия код

         1        |         |         |         40
ученици  ****@****@****@****@****@****@****@****@
нищо     00000
плуват        ****@****@****@****@****@****@
италиано              ****@****@****@****@****@**
пл+ит                 ---->---->---->---->--
                      1                    22
 

[Davids]

25. Задача:

TriangleHeight.png (11.18 KiB) Прегледано 295 пъти

Всичко както е означено, търсим $x$. Нужни са ни две питагорови теореми - за $\Delta AHC$ и за $\Delta BHC$:
[tex]\begin{array}{|l} x^2 = 3 + y^2 \\ y^2 = 3 + (3 - y)^2 \end{array}[/tex]

От второто уравнение получаваме $y = 2$, оттам и $x = \sqrt{7}$.

[Davids]

26. Задача:

Triangle4.png (16.48 KiB) Прегледано 290 пъти

Две бързи синусови теореми за $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{x}{sin45} = \frac{m}{sin\alpha} = \frac{10}{sin(45 + \alpha)} \\ \frac{y}{sin30} = \frac{m}{sin(105 - \alpha)} = \frac{4}{sin(45 + \alpha)} \end{array}[/tex]

От втората двойка уравнения на всеки ред извеждаме: $msin(45 + \alpha) = 10sin\alpha = 4sin(105 - \alpha)$

Развиваме новополученото уравнение относно $\alpha$:
$2sin(75 + \alpha) = 5sin\alpha$
$...$
$cotg\alpha = \frac{5 - 2cos75}{2sin75}$

Оставяме така. Сега разделяме почленно първите двойки уравнения на всеки ред и получаваме:
$\sqrt{2}\frac{x}{y} = \frac{sin(105 - \alpha)}{sin\alpha} = \frac{sin(75 + \alpha)}{sin\alpha} = \frac{sin75cos\alpha + cos75sin\alpha}{sin\alpha} = sin75cotg\alpha + cos75$

Заместваме намерения $cotg\alpha$:
$\sqrt{2}\frac{x}{y} = \cancel{sin75}.\frac{5 - 2cos75}{2\cancel{sin75}} + cos75$
$2\sqrt{2}\frac{x}{y} = 5 - 2cos75 + 2cos75 = 5$
$\Rightarrow \boxed{\frac{x}{y} = \frac{5\sqrt{2}}{4}}$