Показателно уравнение

[Гост]

Да се реши уравнението:

$$4.3^{3x + 1} + 4 = 5.2^{9x}$$

[Гост]

брей, га стана гост, га са научи да ги лепиш по средата на екрано, айдутин си ти

[Гост]

брей, га стана гост, га са научи да ги лепиш по средата на екрано, айдутин си ти

От кога хората без регистрация,които си служат с LaTex станаха престъпници?

[S.B.]

Да се реши уравнението:

$$4.3^{3x + 1} + 4 = 5.2^{9x}$$

[tex]4.3^{3x + 1} + 4 = 5.2^{9x} \Leftrightarrow 4.3.3^{3x} + 4 = 5.(2^{3})^{3x} \Leftrightarrow 12.3^{3x} + 4 = 5.8^{3x}[/tex]
$8^{3x} \ne 0 \Rightarrow$ мога да деля на него и получавам :
$12.(\frac{3}{8})^{3x} + 4.(\frac{1}{8})^{3x} = 5 $
Очевидно $x = \frac{1}{3}$ е корен на уравнението :$12.\frac{3}{8} + 4.\frac{1}{8} = 5$
Нека $f(x) = 12.(\frac{3}{8})^{3x} + 4.(\frac{1}{8})^{3x}$ , Д.М. $x \in (-\infty ; + \infty)$
При непосредствена проверка за произволни $x_{1 } < x_{2 }$ от Д.М. се получава $f(x_{1 }) > f(x_{2 })$
т.е. $f(x)$ очевидно е строго намаляваща функция, а от дясната страна на уравнението стои $const = 5$
$\Rightarrow x = \frac{1}{3}$ е единствено решение.

[Гост]

с производна трябва, с няколко произволни стойности не е доказателство

[Гост]

брей, га стана гост, га са научи да ги лепиш по средата на екрано, айдутин си ти

От кога хората без регистрация,които си служат с LaTex станаха престъпници?

винаги е било така

[S.B.]

с производна трябва, с няколко произволни стойности не е доказателство

В случая в дясно стои константата $5$.
[tex]x_{1 } = 0 , x_{2 } = \frac{1}{3} , x_{3 } = \frac{2}{3} ,x_{4 } = 1\rightarrow 0 < \frac{1}{3} < \frac{2}{3} < 1[/tex]
[tex]f(0) = 16,f(\frac{1}{3}) = 5 ,f(\frac{2}{3}) = 1,75 , f(1) = 0,64 \rightarrow f(0) > f(\frac{1}{3}) > f(\frac{2}{3}) > f(1) \Rightarrow x = \frac{1}{3}[/tex] единствен корен

[Гост]

Гошо Пръдлето от гара "Изток", печелил пословичния квартален дебат на тема "Мандръмуняк фъстъци яде ли?", твърди, че между 1/3 и 2/3 има точно 1323 числа, за които f(x) приема стойност 5. Как да го убедя, че не е прав?

[Гост]

Гошо Пръдлето от гара "Изток", печелил пословичния квартален дебат на тема "Мандръмуняк фъстъци яде ли?", твърди, че между 1/3 и 2/3 има точно 1323 числа, за които f(x) приема стойност 5. Как да го убедя, че не е прав?

Много просто: Докажи ,че в интервала от [tex]x = \frac{1}{3}[/tex] до [tex]x = \frac{2}{3}[/tex] функцията [tex]12.(\frac{3}{8})^{3x} + 4.(\frac{1}{8})^{3x}[/tex] НЕ Е строго намаляваща.

[S.B.]

Гошо Пръдлето от гара "Изток", печелил пословичния квартален дебат на тема "Мандръмуняк фъстъци яде ли?", твърди, че между 1/3 и 2/3 има точно 1323 числа, за които f(x) приема стойност 5. Как да го убедя, че не е прав?

Ето как:
[tex]f(x) = a^{x} ,a>0 ,a\ne 1[/tex] е показателна функция.
Д.М. $x \in ( -\infty ; +\infty) $,$f(x)$ е непрекъсната за $\forall x$
За $a > 1 $ - $f(x)$ е растяща, За $a < 1$ - $f(x)$ е намаляваща.
В нашия случай : [tex]f(x) = 12.(\frac{3}{8})^{3x} + 4.(\frac{1}{8})^{3x}[/tex]
$\frac{3}{8} < 1 \Rightarrow (\frac{3}{8})^{3x}$ е намаляваща ,$(\frac{1}{8})^{3x}$ е намаляваща по същите причини
Опитай се да обясниш това на твоят приятел "Гошо Пръдлето" с думи прости,но първо се опитай ти да го обясниш на себе си.

[Гост]

Не ще и да чуе. Вика ми: "Не вярвам, че [tex]a^{x}[/tex] при [tex]a<1[/tex] е намаляваща функция и че сбор от две намалявaщи функции е пак намаляваща функция! Да го докаже!". Какво да му кажа?

[S.B.]

Не ще и да чуе. Вика ми: "Не вярвам, че [tex]a^{x}[/tex] при [tex]a<1[/tex] е намаляваща функция и че сбор от две намалявaщи функции е пак намаляваща функция! Да го докаже!". Какво да му кажа?

Започни със следната ТЕОРЕМА :Ако дифернцируемата функция [tex]y = f(x)[/tex] е намаляваща в даден интервал от Д.М. то производната й е неположителна в този интервал.
Предполагам,че приятелят ти е повече тъп от колкото упорит ,та за това можеш да си послужиш и с производна:
$f'(x) = [12.(\frac{3}{8})^{3x} + 4.(\frac{1}{8})^{3x}]' = $

$= 12.(\frac{3}{8})^{3x}ln\frac{3}{8} + 4(\frac{1}{8})^{3x}ln\frac{1}{8} =$

$ = 12.(\frac{3}{8})^{3x} (ln3 - ln8) + 4.(\frac{1}{8})^{3x}(ln1 - ln8) < 0$

Защото [tex]ln3 - ln8 < 0 ; 12.(\frac{3}{8})^{3x} > 0 \Rightarrow 12.(\frac{3}{8})^{3x}(ln3 - ln8) < 0[/tex]

Аналогично [tex]ln1 - ln8 < 0 ; 4.(\frac{1}{8})^{3x} > 0 \Rightarrow 4.(\frac{1}{8})^{3x}(ln1 - ln8) < 0[/tex]

И накрая за теб и интелегентната ти компания : сборът на две отрицателни числа е отрицателно число
Изводът е ,че функцията е строго намаляваща

[S.B.]

$ = 12.(\frac{3}{8})^{3x} (ln3 - ln8) + 4.(\frac{1}{8})^{3x}(ln1 - ln8) < 0$

Да... Всъщност производната е [tex]36(\frac{3}{8})^{3x}(ln3 - ln8) + 12(\frac{1}{8})^{3x}(ln1 - ln8) <0[/tex] ...но това не променя знака