Вписан четириъгълник

[Гост]

В окръжност е вписан четириъгълник ABCD , с взаимно перпендикулярни диагонали,които се пресичат в т.E.През точка E минава права ,която е перпендикулярна на AB и пресича страната CD в точка M.Ако AD = a ,AB = b и [tex]\angle[/tex] BDC = [tex]\alpha[/tex], да се определи дължината на отсечката EM.

[S.B.]

Без заглавие (11).png (366.31 KiB) Прегледано 287 пъти

В окръжност е вписан четириъгълник ABCD , с взаимно перпендикулярни диагонали,които се пресичат в т.E.През точка E минава права ,която е перпендикулярна на AB и пресича страната CD в точка M.Ако AD = a ,AB = b и [tex]\angle[/tex] BDC = [tex]\alpha[/tex], да се определи дължината на отсечката EM.

[tex]\angle CAB = \angle BDC = \frac{д.CB}{2}= \alpha[/tex]
Нека $\beta = 90^\circ - \alpha$
От $\triangle ABE \rightarrow \angle ABE = \beta \Rightarrow \angle AEN = \beta \Rightarrow \angle MEC = \beta$
$\angle DCA = \angle ABD = \frac{д.AD}{2} = \beta$
Получи се за $\triangle MEC \rightarrow \angle MEC = \angle MCE = \beta \Rightarrow EM = MC$
За $\triangle DEM \rightarrow \angle DEM = 90^\circ - \beta = \alpha \Rightarrow \triangle DEM$ е равнобедрен и $EM = DM$
Получихме ,че $DM = EM , EM = MC \Rightarrow DM = MC \Rightarrow EM$ е медиана и $EM = \frac{DC}{2}$

От $\triangle ABE \rightarrow \frac{EA}{AB} = cos\alpha \Leftrightarrow \frac{EA}{a} = cos\alpha \Rightarrow EA = a.cos\alpha$

От $\triangle AED \rightarrow DE = \sqrt{AD^{2} - AE^{2}} \Leftrightarrow DE = \sqrt{b^{2} - a^{2}cos^{2}\alpha}$

От $\triangle DEC \rightarrow \frac{DE}{DC} = cos\alpha \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}.cos^{2}\alpha}}{DC} = cos\alpha \Rightarrow DC = \frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}.cos^{2}\alpha}}{cos\alpha}$

$EM = \frac{DC}{2} \Rightarrow EM = \frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}.cos^{2}\alpha}}{2.cos\alpha}$

[S.B.]

От $\triangle ABE \rightarrow \frac{EA}{AB} = cos\alpha \Leftrightarrow \frac{EA}{a} = cos\alpha \Rightarrow EA = a.cos\alpha$

От $\triangle AED \rightarrow DE = \sqrt{AD^{2} - AE^{2}} \Leftrightarrow DE = \sqrt{b^{2} - a^{2}cos^{2}\alpha}$

От $\triangle DEC \rightarrow \frac{DE}{DC} = cos\alpha \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}.cos^{2}\alpha}}{DC} = cos\alpha \Rightarrow DC = \frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}.cos^{2}\alpha}}{cos\alpha}$

$EM = \frac{DC}{2} \Rightarrow EM = \frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}.cos^{2}\alpha}}{2.cos\alpha}$

Колежката Евва на Л.С. ми обърна внимание (за което й благодаря!),че съм обърнала на чертежа означенията на параметрите [tex]a[/tex] и $b$.Според условието [tex]AD = a , AB = b[/tex]
Аз съм работила според чертежа.Тези параметри нямат никакво значение нито за доказването че $EM$ е медиана в правоъгълния триъгълник $CDE$,нито за начина за определяне на дължината на отсечката $EM$ Важно е единствено местоположението само на $\angle \alpha $
Просто крайния отговор ще се получи от този който съм получила,като се разменят местата на двата параметъра,които не са обвързани по никакъв начин нито по между си нито с дължините на съответните отсечки.
Като се разменят местата им ще се получи :$$EM =\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}.cos^{2}\alpha}}{2.cos\alpha}$$