Задача от производни

[Henz]

Ще може ли някой подробно да ми обясни как се решава тази задача?Този материал въобще ми се губи и нямам никаква идея как се решават подобен тип задачи.


Да се намери ъгловият коефициент на допирателната към графиката на функцията [tex]f(x)=\frac{x^{4 }-x^{8}+10}{ 4}[/tex] в точката от графиката,имаща за абциса x=1.

[mathinvalidnik]

[tex]f'(x_{0})=tg\alpha=k[/tex](въпросният ъглов коефициент)

п.п Ако ти е нужно още пояснение-питай!

[Henz]

Ами ако може да я обесниш подробно,щото нито знам какво е ъглов коефициент абе все едно да я обясниш на някой който си няма и идея за какво става въпрос. Ако може и графика сложи че въобще не мога да си ги представя нещата.Нямам си идея от материала за тая задача а в учебника е обяснено кошмарно и искам с примера да го схвана.

[MoDz]

Тангенсът на ъгъла, сключен между 0x и графиката на функцията, е равен на производната на съответната функция.
Тоест, както ти казаха по-горе:
[tex]f'(x)=tg\alpha[/tex], като f(x) е функцията.
Намери си правилата за диференциране и намери производната на функцията.

[WEBER]

Тангенсът на ъгъла, сключен между 0x и графиката на функцията, е равен на производната на съответната функция.
Тоест, както ти казаха по-горе:
[tex]f'(x)=tg\alpha[/tex], като f(x) е функцията.
Намери си правилата за диференциране и намери производната на функцията.

Само че ъгълът не е между Ox и графиката на функцията, а между Оx и допирателната към графиката в точка [tex]M_{0} (x_{0} , f(x_{0}))[/tex] т.е. [tex]k=tg a=f'(x_{0})[/tex]

[WEBER]

[tex]f(x)=\frac{x^4-x^8+10}{4 }[/tex]

[tex]f(x)=\frac{x^4}{4 }- \frac{x^8}{4 }+ \frac{10}{ 4}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{4x^3}{4 } -\frac{8x^7}{4 }[/tex]

[tex]f'(x)=x^3-2x^7[/tex]

[tex]f'(1)=1^3-2.1^7=-1[/tex]

[tex]k=-1[/tex]

[Henz]

Мерси за решението,но ще можете ли да ми обясните какво всъщност е производна.В учебника е обяснено с нещо като момента скорост но.....

[Добромир Глухаров]

Може да погледнеш в Wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative

[Henz]

Мерси,но е на англииски и има доста термини които не разбирам.

[Добромир Глухаров]

Ами просто казано производна е границата на отношението на изменението на функцията към изменението на аргумента, когато изменението на аргумента клони към нула:

[tex]f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/tex]

[b1ck0]

На графиката долу виждаш част от функцията [tex]f(x)[/tex], казвам част тъй като осите са [tex]dx[/tex] и [tex]dy[/tex], тоест това са оси на безкрайно малки величини ( това е една много уголемена част от графиката на функцията ). От графиката на функцията са взети две точки с координати [tex]A = (x_{1};y_{1})[/tex] и [tex]B = (x_{2};y_{2})[/tex]. От графиката се вижда че докато [tex]x[/tex] е нарастнало от стойност [tex]x_{1}[/tex] до стойност [tex]x_{2}[/tex], то и стойността на функцията е нарастнала от стойност [tex]y_{1}[/tex] до стойност [tex]y_{2}[/tex]. Отношението [tex]\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = tg \angle BAN[/tex] в [tex]\triangle ANB[/tex]. Записано по друг начин:
[tex]tan \alpha = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \Right tan \alpha = \frac{ \Delta y}{ \Delta x}[/tex], но още в началото казахме че [tex]x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}[/tex] са безйрано малки величини, следователно [tex]x_{2} - x_{1} \approx 0[/tex], както и [tex]y_{2} - y_{1} \approx 0[/tex], затова ние не можем директно да пресметнем това отношение ... Затова пресмятаме:
[tex]\lim_{x\to\ 0} \frac{ \Delta y}{ \Delta x}[/tex], последното представлява производната на функцията в точка [tex]x_{0}[/tex]

[Henz]

Май го разбрах,доста е абстрактно ,не разбирам какво друго приложение би имало освен да мъчи учениците

Значи производна всъщност е изменението на графиката от една точка до друга точка от графиката,при стойностите на аргументите при двете точки толкова близки една до друга,че разликата им клони към нула.Ясно е защо са се опитвали да го обеснят в учебника като момента скорост. А пък b1ck0 ми е обяснил перфектно защо производната на функция съвпада със тангенса на ъгъла между допирателната и функцията. Благодаря на всички,за обясненията,много ми помогнахте.

[b1ck0]

Идея си нямам защо са се опитали да го обясняват със скорости, при положение че можеха да направят горната картинка ... Радвам се че съм ти помогнал

П.С: я снимай корицата на учебника и го покажи всички да го видим ...

[Henz]

Ето това е учебника. Да му направим една хубава реклама.
http://prikachi.com/images/638/2285638P.jpg

[WEBER]

Точно, за да не звучи абстрактно производна най-хубаво се обяснява със закона за движение на материална точка или както някой какза със "скорости".

Henz, всичко тръгва оттам, че средната скорост на едно движещо се тяло по път не дава пълна информация за движението му във всеки момент и точно тук идва необходимостта от въвеждането на производни. До колкото знам първи ги е открил Нютон (независимо от него и Лайбниц), който е физик.Щом ги е открил, значи е опрял до тяхната употреба във физиката (която не е амстрактна, ако говорим за класическа физика):

ако предположим, че [tex]s=f(t)[/tex]е законът за движение на една материална точка, където [tex]t[/tex] е времето, а [tex]s[/tex]-изминатият път, скоростта [tex]v[/tex] на движението в даден момент [tex]t_{0}[/tex] е равен на стойността на производната на [tex]f(t)[/tex], изчислена при [tex]t=t_{0}[/tex], т.е. [tex]v=s'=f'(t_{0})[/tex].

[Henz]

А като разглеждаме производна на функция какво всъщност гледаме? А за това със скоростите може ли да ми дадеш пример,струва ми се интересно.примерно по производна да се намери скороста на кола да кажем,възможно ли е такова нещо?

[ganka simeonova]

А като разглеждаме производна на функция какво всъщност гледаме? А за това със скоростите може ли да ми дадеш пример,струва ми се интересно.примерно по производна да се намери скороста на кола да кажем,възможно ли е такова нещо?

Сега, аз не знам, дали ще го обясня така, както го разбирам:)
Много добре осъзнавам, че понятието производна е трудно, да се осмисли. Аз лично го осмислих, като станах студентка 1 курс и то благодарение на проф. Дойчин Дойчинов- светла му памет..
Може да ме разпънат на кръст, но за мен производната е скоростта на изменение на ф-я в дадена точка.
Най- просто примерче:
Да разгледаме ф-та [tex]y=2[/tex]. Това е ф-я конст.
Има ли изменение? Нееее. Тя за всяка стойност на х, все си е 2..
Тогава има ли скорост на изменение? Нееее. И е така Все пак първата произодна на константата е 0.

[Henz]

WEBER защо си махна поста с функцията.Пусни го пак.Обяснението ти беше хубаво.

[WEBER]

Не беше много коректен отговор, като измисля нещо по-добро пак ще пиша.