Дадени са 4 еднакви сфери

[Гост]

дадени са 4 еднакви сфери с радиус r , всяка от които се допира до останалите три. Намерете радиусите на двете сфери, които се допират до дадените сфери.
Трябва пи помощ за тази задача!

[KOPMOPAH]

Центровете на четирите еднакви сфери образуват правилен тетраедър с ръб $2r$. Трябва да се намери радиуса $R$ на описаната около този тетраедър сфера.
Аз получих $R=\frac{5\sqrt 2}6.r$
Търсените радиуси са $R+r$ и $R-r$.

[Гост]

Много благодаря за отговора!
Ще може ли обаче малко по-подробно разяснение как си намерил радиуса на описаната сфера?

[vezni]

Не се ли получава [tex]R=\frac{\sqrt{6}}{2}r[/tex]?

[KOPMOPAH]

Не се ли получава [tex]R=\frac{\sqrt{6}}{2}r[/tex]?

Възможно е, смятах набързо и на крак.
Ще направя чертеж и ще проверя.

[KOPMOPAH]

Не се ли получава [tex]R=\frac{\sqrt{6}}{2}r[/tex]?

Толкова е! Покайвам се!

Дадени са 4 еднакви сфери.png (27.08 KiB) Прегледано 231 пъти

Накратко - прекарваме сечението през околния ръб $CD$ и височината $DG$, която съдържа и центъра на описаната сфера т.$O$.
Мисля, че е ясно защо $ED=r\sqrt 3$, $EG=\frac 13 r\sqrt 3$ и $GC=\frac 23 r\sqrt 3$.
От Питагорова теорема за $\triangle EGC$ имаме:$$DG=\sqrt{\left(r\sqrt 3 \right)^2-\left(\frac 13 r\sqrt 3\right)^2}=\frac 23r\sqrt 6 \Rightarrow OG=\frac 23r\sqrt 6 -R$$
После прилагаме пак Питагорова теорема за $\triangle OGC$ и получаваме:$$R^2=\left(\frac 23r\sqrt 6 -R\right)^2+\left(\frac 23 r\sqrt 3\right)^2$$
След преработка (и ако не се сбърка някъде като мен ) трябва да се получи това, което посочва колегата vezni, а именно:$$R=\frac{\sqrt{6}}{2}r$$

Скрит текст: покажи

Нататък и баба знае...както и нейното хвърчило