Как или по какъв начин се променят процентите ?

[Гост]

Играе се футболен мач от две полувремена. Всяко полувреме е от 45 минути. Срещата завършва 0:0.

Преди началото на срещата вероятността срещата да завърши 0:0 е 5%, а да има един или повече от един гол 95%.
След 90 минута /края ма мача/ вероятността срещата да завърши 0:0 е 100%, а да има повече от един гол 0%.

Как или по какъв начин се намира вероятността срещата да завърши 0:0 към 20 минута, 46 минута, 70 минута или казано по-обобщено N-минута.

Предварително Благодаря.

[peyo]

Ето ти графика да гледаш процентите. По хоризонталата са минутите от началото на мача, а по вертикалата е колко процента е да завърши наравно:

geogebra-export(5).png (352.1 KiB) Прегледано 758 пъти

[Гост]

x^{y}

Ето ти графика да гледаш процентите. По хоризонталата са минутите от началото на мача, а по вертикалата е колко процента е да завърши наравно:

geogebra-export(5).png

И аз смятах така.
Линеина функция y=ax+b
y-процентите; x-минутата; a=95/90; b=5
Обаче на БУКМЕЙКАРИТЕ математиката е друга.
на полувремето процентите са около 14%, а 50% са около 75 минута

[peyo]

...
Обаче на БУКМЕЙКАРИТЕ математиката е друга.
на полувремето процентите са около 14%, а 50% са около 75 минута

Тогава да пробваме да направим прост математически модел като направим доста опростения.

Да предположим, че вероятността отбор А или Б да не вкарат гол в малък интервал от време от играта $m$ е еднаква и е $p_n$ и за опростение ще приемем че ако това се случи мачът няма да завърши наравно. Тогава вероятността мачът да завърши наравно като функция на времето $p_r(t)$ e $p_n$ да се случи винаги в интервала от t до 90.

$p_r(t) = \prod_{k=t}^{90 }p_n$
$p_r(t) = {p_n}^{(90-t)/m}$

Остава да намерим стойностите на константите. Имаме
$p_r(0) = 0.05$ и $p_r(45) = 0.14$ и $p_r(75) = 0.5$

$0.05 = {p_n}^{90/m}$
$0.14 = {p_n}^{45/m}$

Да опростим още нещата и да примем че m = 1 минута.

$0.05 = {p_n}^{90}$
$p_n=0.967261966166$

Да проверим дали стойността е близка до другите стойности:
0.14 -> 0.22360679775
0.5 -> 0.435113721308

Не е същата но доста близко мисля за толкова елементарен модел. Да видим графиката на
$p_r(t) = {0.967261966166}^{(90-t)}$

figure_1_match.png (15.3 KiB) Прегледано 735 пъти

[Гост]

Благодаря ти много.
Мисля, че това е правилният начин.x^{y}

[peyo]

Първия модел който направихме, макар и доста опростен, даде много добри резултати. Да пробваме да усложним модела малко повече.

В предишния модел ако някой отбор вкара дори един гол приемахме, че играта няма да завърши наравно. Първата ми идея беше да вземем под внимание и случая когато другия отбор може да изравни. Това за съжаление промени съвсем незначително графиката на резултатната функция, освен ако не съм объркал нещо. Затова ще пробваме нещо друго.

Да приемем, че вероятността някой отбор да не вкара гол за единица време $m$ не е константна а се увеличава с напредването на времето, например защото играчите се уморяват.

Тогава

$p_n(t) = p_{n0} + k*t$
$p_r(t) = {(p_{n0} + k*t)}^{(90-t)/m}$

Ще опростим като направим m = 1 минута.

$p_r(t) = {(p_{n0} + k*t)}^{(90-t)}$

Да се опитаме да намерим константите използвайки контролните точки:

$p_r​(0)=0.05$ , $p_r(45)=0.14$ и $p_r(75)=0.5$

$0.05 = {p_{n0}}^{90}$
$0.14 = {(p_{n0} + k*45)}^{45}$

$p_{n0}​=0.967261966166$

$0.14 = {(0.967261966166 + k*45)}^{45}$

$k=-0.00022250320165478034$

Невероятно, но k е отрицателно. Това означава, че вероятността да не вкарат гол не се увеличава с напредването на играта а намалява!

Да видим графиката на резултатната функция:
$p_r(t) = {(0.967261966166 -0.00022250320165478034*t)}^{(90-t)}$

Като нанесем и 3-те контролни точки.

figure_model2.png (29.57 KiB) Прегледано 653 пъти

Оранжевата линия е новия модел и виждаме, че се доближава много повече до контролните точки. Всъщност точно минава през две от тях, защото така го изчислихме, но третата е много по-близко от предишния модел.

[Гост]

Като знаеш, че срещата да завърши 0:0 за 90 мин. е 5% по какъв начин ще изчислиш вероятността първото полувреме да завърши 0:0?

[peyo]

Като знаеш, че срещата да завърши 0:0 за 90 мин. е 5% по какъв начин ще изчислиш вероятността първото полувреме да завърши 0:0?

Много интересен въпрос. На пръв поглед изглежда, че вече сме го решили и само трябва да използваме вече получената формула и да получим резутата, но не мисля, че е толкова просто. В този случай ние искаме да решим обратната задача. Досега сметнахме каква е вероятността за равен от някакъв момент до края на играта, а сега искаме вероятността за равен от началото на играта до някакъв момент. Един подход е да направим нов математически модел за новия случай, но нямаме контролни точки, както имаме в първия случай. Затова ще стъпим върху вече получения резултат.

Първо ще изчислим конкретната вероятност за равен в някакъв момент t с продължителност m:

$p_t(t)=p_r​(t-m)/p_r​(t)$

Тогава търсената формула е:

$p_2(t) = \prod_{k=0}^{t/m} p_t(k*m)$

Не знам дали си струва да търсим аналитична формула, а вместо това това ще решим задачата в excel с m=5 минути. Изглежда по този начин:

football3.png (58.08 KiB) Прегледано 564 пъти

Тогава
$p_2(45)=0.357142857127391

Или с думи вероятността първото полувреме да завърши 0:0 е около 36%. Изненадващо голям резултат мисля.

[Гост]

x^{y}От процентите букмейкърите формират коефициентите. 100 се дели на процента и се получава коефициента. При вероятност (головете да са под 0,5, тоест 0:0) =5% коефициента е 20. При вероятност(головете да са над 0,5 тоест един или повече) =95% коефициента е 1,05263... Това са справедливите коефициенти при които букмейкарите не могат да формират печалба при балансирано разпределение на залозите, защото липсва маржа-печалбата на букмейкъра.
Вероятността първото полувреме да завърши под 0,5 гола намирам като100/(процентите 45мин/процентите преди началото на срещата)

По първият модел за под 0,5 гола преди началото на срещата
Процентите са 5%
Коефициента е 20

45 минута
Процентите са 22,36067977
Коефициента е 4,472135955

В случая получавам вероятността първото полувреме да завърши под 0,5 гола е:
Процентите са 22,36067977
Коефициента е 4,472135955

По втория модел за под 0,5 гола преди началото на срещата
Процентите са 5%
Коефициента е 20

45 минута
Процентите са 14
Коефициента е 7,142857143
В случая получавам вероятността първото полувреме да завърши под 0,5 гола е:
Процентите са 35,71428571
Коефициента е 2,8

[Гост]

Peyo моля те помагай отново.
Написа ми формулата за промяна на процентите в срещата да има 0 гола.
Кака е обаче обратната формула за промяна на процентите за 1 гол и 2+ гола.
0 гола 5%
1 гол 15%
2+ гола 80%
В случая процентите следва да се намалят от 15% до 0% и от 80% до 0%.

[Гост]

matematika.docx

(12.8 KiB) 101 пъти

[peyo]

Peyo моля те помагай отново.
Написа ми формулата за промяна на процентите в срещата да има 0 гола.
Кака е обаче обратната формула за промяна на процентите за 1 гол и 2+ гола.
0 гола 5%
1 гол 15%
2+ гола 80%
В случая процентите следва да се намалят от 15% до 0% и от 80% до 0%.

Когато разсъжденията стават сложни е време да използваме симулация. Но такава която стъпва на вече намерената формула от контролните точки никой да не вкара гол до края на играта в момента t:

$p_r(t) = {(0.967261966166 -0.00022250320165478034*t)}^{(90-t)}$

И ще симулираме през 5 минути за по-просто. (през тези 5 минути може да бъде вкарам само 1 гол)

Код: Избери целия код

def sim_football3():
    import random
    import pandas as pd
    import numpy as np
    p_r = lambda t: (0.967261966166 -0.00022250320165478034*t)**(90-t)
    R = []
    N = 1000000
    for i in range(N):
        g = 0
        for t in range(5,95,5):
            p_5 = p_r(t-5)/p_r(t)
            if random.random() > p_5:
                g +=1
            R.append([i,t,g])
    df = pd.DataFrame.from_records(R)
    df.columns = ["gameid","minute","goal"]
   
    print(["minute","0 goals","1 goal","2+ goals"])
    for minute in (5,45,75,90):
        goals_0 = len(df.query("minute == %s and goal == 0" % (minute,) ))
        goals_1 = len(df.query("minute == %s and goal == 1" % (minute,) ))
        goals_2m = len(df.query("minute == %s and goal >= 2" % (minute,) ))
        print([minute,goals_0/N, goals_1/N, goals_2m/N])

sim_football3()


Резултат:

['minute', '0 goals', '1 goal', '2+ goals']
[5, 0.933791, 0.066209, 0.0]
[45, 0.357398, 0.390948, 0.251654]
[75, 0.107262, 0.259923, 0.632815]
[90, 0.050171, 0.165187, 0.784642]

Виждаме съвпадение на сините стойности с предишния аналитичен модел. За новите резултати виждаме и малко разминаване, но все пак близки червени стойности.