Триъгълник

[Гост]

ABC, O1-център на oписаната окр., O2-център на вписаната окр., ∠B = 45◦, O1O2 II BC. cos ∠C=?

[Гост]

идеи?

[Гост]

[tex]\frac{2-\sqrt{2}}{2}[/tex]

[Гост]

Отговорът точен, но как да се стигне до него, без да се използва теоремата на Карно за радиусите, която не се учи в училище?

[Гост]

tc.PNG (16.61 KiB) Прегледано 188 пъти

[tex]O_1E,O_1F,O_1D[/tex] са разстоянията от [tex]O_1[/tex] до страните, [tex]O_2G=r[/tex]
От правоъгълника [tex]O_1EGO_2\Rightarrow O_1E=r[/tex]
[tex]\angle AO_1C=90^\circ\Rightarrow O_1F=AC/2=R\sqrt{2}/2[/tex]
[tex]O_1F+O_1D+O_1E=R+r[/tex] (Карно) [tex]\Rightarrow O_1D=R(2-\sqrt{2})/2[/tex]
[tex]\cos(\angle C)=\cos (\angle DO_1A)=O_1D/R\Rightarrow \cos(\angle C)=(2-\sqrt{2})/2[/tex]