ромб

[Гост]

В ромб АБСД точка М е среда на АБ и [tex]\angle[/tex] БАД=60[tex]^\circ[/tex]. Синусът на [tex]\angle[/tex] ДМС е равен на :

[S.B.]

Без заглавие - 2020-03-07T215715.761.png (236.25 KiB) Прегледано 483 пъти

В ромб АБСД точка М е среда на АБ и [tex]\angle[/tex] БАД=60[tex]^\circ[/tex]. Синусът на [tex]\angle[/tex] ДМС е равен на :

Приемам за страната на ромба да бъде рабна на $a ,DM = x,CM = y , \angle DMC = \varphi$
$S_{DMC } = \frac{xy}{2}.sin\varphi$
$S_{DMC } = S_{ABCD } - (S_{AMD } + S_{BMD }) \Leftrightarrow \frac{xy}{2}sin\varphi = a^{2}sin60^\circ - (\frac{a^{2}}{4}sin60^\circ + \frac{a^{2}}{4}sin120^\circ) \Leftrightarrow $
$\frac{xy}{2}sin\varphi = a^{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\frac{a^{2}}{4} \frac{\sqrt{3}}{2} $
$\Rightarrow xysin\varphi = a^{2}\frac{\sqrt{3}}{4}$ (1)

За $\triangle AMD$ Косинусова теорема : $x^{2} = a^{2} + \frac{a^{2}}{4} - 2.a.\frac{a}{2}.\frac{1}{2} \Rightarrow x^{2} = \frac{3a^{2}}{4}$
За $\triangle BMD$ Косинусова теорема : $y^{2} = a^{2} + \frac{a^{2}}{4} + 2.a.\frac{a}{2}.\frac{1}{2} \Rightarrow y^{2} = \frac{7a^{2}}{4}$
За $\triangle DMC$ Косинусова теорема : $a^{2} = x^{2} + y^{2} - 2xycos\varphi \Leftrightarrow a^{2} = \frac{3a^{2}}{4} + \frac{7a^{2}}{4} - 2xycos\varphi $
$ \Rightarrow xycos\varphi = \frac{3a^{2}}{4}$ (2)
Делия (1) на (2) и получавам:$\displaystyle\frac{xysin\varphi}{xycos\varphi} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}{\displaystyle\frac{3a^{2}}{4}} \Leftrightarrow tg\varphi = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \varphi = 30^\circ$ $$sin\angle DMC = sin\varphi = sin30^\circ = \frac{1}{2}$$

[Евва]

( 2 начин) Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ABD-равнобедрен с ъгъл 60[tex]^\circ[/tex] на върха [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex] ABD е равностранен .
DM се явява и медиана и височина в него т.е. [tex]\angle[/tex]AMD=90[tex]^\circ[/tex]
([tex]\triangle[/tex]AMD) sin60[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{DM}{AD}[/tex] ; [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]=[tex]\frac{DM}{a}[/tex] ; DM=[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]

AB||CD и [tex]\angle[/tex]MDC е кръстен с [tex]\angle[/tex]AMD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]MDC=[tex]\angle[/tex]AMD=90[tex]^\circ[/tex] т.е.[tex]\triangle[/tex]MDC е правоъгълен

От Питагор [tex]MD^{2}[/tex] +[tex]CD^{2}[/tex]=[tex]MC^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3a^{2}}{4}[/tex]+[tex]a^{2}[/tex]=[tex]MC^{2}[/tex] ; MC=[tex]\frac{a\sqrt{7}}{2}[/tex]

sin[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{CD}{MC}[/tex]=[tex]\frac{a}{\frac{a\sqrt{7}}{2}}[/tex]=[tex]\frac{2}{\sqrt{7}}[/tex]=[tex]\frac{2\sqrt{7}}{7}[/tex]

sin[tex]\angle[/tex]DMC=[tex]\frac{2\sqrt{7}}{7}[/tex]

[S.B.]

Да,Евва е права и освен това нейното решение е по-добро! Адмирации!

Моята грешка е: В по дългия път по който съм тръгнала и конкретно в (1)
[tex]xysin\varphi = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} \Rightarrow tg\varphi = \frac{2\sqrt{3}}{3} , sin\varphi = cos\frac{2\sqrt{3}}{3} \Rightarrow cos^{2}\varphi = \frac{3}{7},sin^{2}\varphi = \frac{4}{7} \Rightarrow sin\varphi = \frac{2\sqrt{7}}{7}[/tex]