триъгълник

[Гост]

В [tex]\triangle[/tex] ABC със страни BC=4cm ,AC=6cm са построени медианите AD , AE , а точка М е неговия медицентър . Ако точките C, D, E, и М лежат на една окържност, да се намери дължината на AB.
Отговора е [tex]\sqrt{26}[/tex]

[Евва]

В условието сигурно медианите са AD и BE
Нека [tex]\angle[/tex]ВСА=[tex]\gamma[/tex] ,АВ=2х
АВ=2х=?
ED е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\Rightarrow[/tex] ED=x
MDCE е вписан в окръжност [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]EMD+[tex]\angle[/tex]DCE=180[tex]^\circ[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]EMD=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\gamma[/tex] ;Тогава съседният му [tex]\angle[/tex]AME=[tex]\gamma[/tex]

[tex]\triangle[/tex]AME[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ADC по 1 признак ( защото [tex]\angle[/tex]EAM=[tex]\angle[/tex]CAD и [tex]\angle[/tex]AME=[tex]\angle[/tex]DCA=[tex]\gamma[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AM}{AC}[/tex]=[tex]\frac{AE}{AD}[/tex] ; [tex]\frac{\frac{2AD}{3}}{6}[/tex]=[tex]\frac{3}{AD}[/tex] ; [tex]AD^{2}[/tex]=27 т.е. AD=[tex]\sqrt{27}[/tex] см.
ED се явява медиана в [tex]\triangle[/tex]ADC тогава [tex]ED^{2}[/tex]=[tex]\frac{2DC^{2}+2AD^{2}-AC^{2}}{4}[/tex]
[tex]x^{2}[/tex]=[tex]\frac{2.4+2.27-36}{4}[/tex]=[tex]\frac{26}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] x=[tex]\frac{\sqrt{26}}{2}[/tex] см.

АВ=2х=[tex]\sqrt{26}[/tex] см.