Задача по геометрия от кандидатстудентски изпит

[Гост]

В полукръг с радиус R са вписани два кръга, допиращи се един до друг, до полукръга и до неговия диаметър. Радиусите на двата кръга се отнасят както 9:2. Намерете тези радиуси.

[KOPMOPAH]

Вижте това.

[Евва]

Получих отговор [tex]\frac{R}{18}[/tex] ; [tex]\frac{R}{4}[/tex]
Греша ли ?

[Евва]

Нека [tex]r_{1 }[/tex]=2r ,[tex]r_{2 }[/tex]=9r ,OA=R .
За удобство ще използвам чертежа на Davids .

Скрит текст: покажи

Нека окр.[tex]К_{1 }[/tex] се допира до К в т.Е и окр.[tex]К_{2 }[/tex] се допира до К в т.F .Използвам това,че точките О,[tex]О_{1 }[/tex],Е-лежат на една права и точките О,[tex]О_{2 }[/tex],F-лежат на една права .Не разбирам трябва ли да докажа това.

От трапеца MN[tex]O_{2 }[/tex][tex]O_{1 }[/tex] чрез Питагор намираме,че [tex]MN^{2}[/tex]+[tex](7r)^{2}[/tex]=[tex](11r)^{2}[/tex] ...
MN=6[tex]\sqrt{2}[/tex]r (1)
([tex]\triangle[/tex]ON[tex]O_{2 }[/tex]) [tex]ON^{2}[/tex]+[tex]O_{2 }N^{2}[/tex]=[tex]OO_{2 }^{2}[/tex]
[tex]ON^{2}[/tex]+81[tex]r^{2}[/tex]=[tex](R-9r)^{2}[/tex]
[tex]ON^{2}[/tex]+81[tex]r^{2}[/tex]=[tex]R^{2}[/tex]-18rR+81[tex]r^{2}[/tex]
ON=[tex]\sqrt{R^{2}-18rR}[/tex] (2)

([tex]\triangle[/tex]OM[tex]O_{1 }[/tex]) [tex]OM^{2}[/tex]+[tex]O_{1 }M^{2}[/tex]=[tex]OO_{1 }^{2}[/tex]
[tex]OM^{2}[/tex]+[tex](2r)^{2}[/tex]=[tex](R-2r)^{2}[/tex]
[tex]OM^{2}[/tex]+4[tex]r^{2}[/tex]=[tex]R^{2}[/tex]-4rR+4[tex]r^{2}[/tex]
OM=[tex]\sqrt{R^{2}-4rR}[/tex] (3)

ON+NM=OM
[tex]\sqrt{R^{2}-18rR}[/tex]+6[tex]\sqrt{2}[/tex]r=[tex]\sqrt{R^{2}-4rR}[/tex]
[tex]\sqrt{R^{2}-18rR}[/tex]=[tex]\sqrt{R^{2}-4rR}[/tex]-6[tex]\sqrt{2}[/tex]r
[tex]R^{2}[/tex]-18rR=[tex]R^{2}[/tex]-4rR+72[tex]r^{2}[/tex]-12[tex]\sqrt{2}[/tex]r[tex]\sqrt{R^{2}-4rR}[/tex]
12[tex]\sqrt{2}[/tex]r[tex]\sqrt{R^{2}-4rR}[/tex]=14rR+72[tex]r^{2}[/tex] |:2r[tex]\ne[/tex]o
6[tex]\sqrt{2}[/tex].[tex]\sqrt{R^{2}-4rR}[/tex]=7R+36r
72([tex]R^{2}[/tex]-4rR)=49[tex]R^{2}[/tex]+504rR+1 296[tex]r^{2}[/tex]

1 296[tex]r^{2}[/tex]+(792R)r-23[tex]R^{2}[/tex]=0 ;k=396R ,D=156 816[tex]R^{2}[/tex]+29 808[tex]R^{2}[/tex] =186 624[tex]R^{2}[/tex]=[tex](432R)^{2}[/tex]

r=[tex]\frac{-396R\pm432R}{1296}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] r=[tex]\frac{R}{36}[/tex]

Тогава [tex]r_{1 }[/tex]=2r=[tex]\frac{R}{18}[/tex] ; [tex]r_{2 }[/tex]=9r=[tex]\frac{R}{4}[/tex]

[Гост]

https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=40&t=7145