няколко задачи ми дадоха с параметри

[Гост]

[url][/url]Зад. 1
Намерете обема на правилна четириъгълна призма, ако диагоналът и сключванс околната стена ъгъл (алфа), а дължината на околния ръб е a.

2зад. Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Точка M е средна на BC , N - на CD, а O е център на куба. Намерете обема на куба, ако разстоянието от О до равнната MNC1 е m.

[Гост]

и кво като ти дадоха?

[Гост]

Да ти бяха казали и вълшебната думичка

[Гост]

Моля

[KOPMOPAH]

Правилна призма.png (12.71 KiB) Прегледано 233 пъти

Отбелязваме основния ръб с $x$.
За $\triangle BC_1D_1$ имаме $BD_1=\frac x{\sin \alpha}$.
В $\triangle BDD_1\, DD_1=a$, $BD=x\sqrt 2$, $BD_1=\frac x{\sin \alpha}$ и по Питагорова теорема получаваме:$$(x\sqrt 2)^2+a^2=\left(\frac x{\sin \alpha}\right)^2\Rightarrow x^2=\frac{a^2.\sin^2\alpha}{1-2.\sin^2\alpha}$$а обемът е $$V=x^2.a=\frac{a^3.\sin^2\alpha}{1-2.\sin^2\alpha}$$

[KOPMOPAH]

Ще започна с два цитата от Мигел де Сервантес.

"Нищо не струва така евтино и не се цени така скъпо, както учтивостта"

Наистина, освен малкоинтересният факт, че са ти дали няколко задачи с параметри, би могло да се напише и някоя вълшебна думичка от типа "Моля за помощ..." Явно навремето е имало повече време за добри обноски в училище, а сега учтивостта е отпаднало от учебната програма, за съжаление...

Вторият цитат е адресиран до пишещите по-горе:

"Който няма мяра в говоренето, рискува да се изложи или да се нарани жестоко. Обуздаването на езика е изкуство, което малцина владеят"

След лирическото отклонение - към задачата.

Куб и среди на страни.png (27.63 KiB) Прегледано 210 пъти

Равнината, минаваща през точките $M$, $N$ и $C_1$ е по-зеленият триъгълник. Отбелязваме неизвестния ръб на куба с $a$.

Построяваме сечение, минаващо през точките $A$, $C$ и $C_1$. То е изнесено на десния чертеж.
Ясно е, че $AC=a \sqrt2$. Отбелязваме, че $MN$ е средна отсечка в $\triangle DBC \Rightarrow O_1G=GC=...\frac 14 a\sqrt 2$, $AG=\frac 34a\sqrt 2$
За $\triangle ACC_1$ $OO_1$ също е средна отсечка, следователно $OO_1=\frac 12 a$
Прилагаме Питагорова теорема за $\triangle GCC_1$:$$GC_1^2=GC^2+CC_1^2=\left(\frac 14 a\sqrt 2\right)^2+a^2=\frac 98a^2\Rightarrow GC_1=\frac 34a\sqrt 2 $$
Оказва се, че триъгълниците $\triangle AGO$ и $\triangle CGO$ имат по три равни страни и са еднакви по трети признак. Оттук следва, че всичките им съответни елементи са равни, в частност височините $OO_1$ и $OH$.
В крайна сметка $\frac a2=OO_1=OH=m\Rightarrow a=2m$ $$V=a^3=(2m)^3=8m^3$$