Може ли някой да помогне с домашното..

[Гост]

Здравейте, дадоха ми няколко задачки за домашно. Има ли някой, който може да ми помогне?
Благодаря предварително!
зад.1 Основата на тригълна призма е правоъгълен триъгълник с хипотенуза с и остър ъгъл [tex]\alpha[/tex]. Околната стена, която съдържа хипотенузата, е перпендикулярна на равнината на основата, а околната стена, която минава през прилежащия на ъгъл [tex]\alpha[/tex] катет, сключва с основата на призмата ъгъл [tex]\beta[/tex]. Ако околният ръб на призмата е m, намерете:
а) обема на призмата
б) тангенса на ъгъла, който третата околна стена сключва с основата на призмата.

зад.2 Дадена е пирамида с основа равнодебрен триъгълник с бедро a и ъгъл между бедрата [tex]\alpha[/tex]. Околните ръбове на пирамидата сключват с равнината на основата ъгъл [tex]\beta[/tex]. Намерете обема на пирамидата.

[S.B.]

Без заглавие (93).png (461.36 KiB) Прегледано 201 пъти

зад.2 Дадена е пирамида с основа равнодебрен триъгълник с бедро a и ъгъл между бедрата [tex]\alpha[/tex]. Околните ръбове на пирамидата сключват с равнината на основата ъгъл [tex]\beta[/tex]. Намерете обема на пирамидата.

Всеки уважаващ себе си човек първо си изяснява къде се проектира върхът $D$ на пирамидата.Условието,че околните ръбове на пирамидата слючват един и същ ъгъл $\beta$ с равнината на основата ни дава отговор - върхът на твоята пирамида се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност или по- точно върху пресечната точка на симетралите на страните на [tex]\triangle ABC[/tex] ,който служи за основа на пирамидта $DABC$ на която търсим обема.
$V_{DABC } = \frac{1}{3}.S_{ABC }.h$

За основата $\triangle ABC$:

$S_{ABC } = \frac{1}{2}.AC.BC.sin\angle ACB \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{1}{2}.a^{2}.sin\alpha$
От $\triangle MCB\rightarrow \frac{MB}{CB} = sin\frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow MB = a.sin\frac{\alpha}{2} \Rightarrow AB = 2a.sin\frac{\alpha}{2}$
За $\triangle ABC$ прилагам Синусова теорема : $\displaystyle\frac{AB}{sin\alpha} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{2a}{sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}} = 2R \Rightarrow R = \displaystyle\frac{a}{sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}}$

Сечението CMD :

За да намерим височината на пирамидата правим сечение по околния ръб $DC$ и височината в основата $\triangle ABC$ (в случая $MC$ ) и получаваме сечението $\triangle CMD$
В $\triangle CMD$ височината $DH$ е и височина на пирамидата.
От $\triangle HCD \rightarrow \displaystyle\frac{HD}{HC} = tg\beta \Leftrightarrow \displaystyle\frac{HD}{R} = tg\beta \Leftrightarrow HD = R.tg\beta \Rightarrow HD = \displaystyle\frac{a}{sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}}.tg\beta$

Обема на пирамидата:

$V_{DABC } = \displaystyle\frac{1}{3}.S_{ABC }.HD \Leftrightarrow V_{DABC } = \displaystyle\frac{1}{3}.\displaystyle\frac{1}{2}.a^{2}.sin\alpha.\displaystyle\frac{a}{sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}}.tg\beta = \displaystyle\frac{1}{6}.a^{3} \displaystyle\frac{2sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}.cos\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}}.tg\beta \Rightarrow$
$$V_{DABC } = \displaystyle\frac{a^{3}.cos\displaystyle\frac{\alpha}{2}.tg\beta}{3}$$