Помоогнете моля..

[Гост]

зад1. Намерете обема на правилна четириъгълна пирамида с височина h и ъгъл между два съседни околни ръба 2[tex]\alpha[/tex].

зад2.В правилна триъгълна пирамида околният ръб сключва с равнината на основата ъгъл \beta, а двустенният ъгъл при основата е \alpha. Докажете, че tg\alpha=2tg\beta.
Благодаря предварително

[S.B.]

Без заглавие - 2020-03-26T133525.490.png (318.79 KiB) Прегледано 198 пъти

зад2.В правилна триъгълна пирамида околният ръб сключва с равнината на основата ъгъл \beta, а двустенният ъгъл при основата е \alpha. Докажете, че tg\alpha=2tg\beta.

Построявам равнина минаваща през околния ръб $DC$ и апотемата $DM$.Получавам сечението $MCD$
В [tex]\triangle MCD , \angle MCD = \beta , \angle CMD = \alpha , DH \bot CM[/tex] където т$H$ е пресечната точка на медианите в основата $\triangle ABC$ .Ако приемем,че основния ръб$AB = BC = CA = 1 \Rightarrow CM = \frac{\sqrt{3}}{2} , CH = \frac{\sqrt{3}}{3} , MH = \frac{\sqrt{3}}{6}$
От $\triangle MDH \rightarrow \frac{DH}{HM} = tg\alpha \Rightarrow DH = \frac{\sqrt{3}}{6}.tg\alpha$ (1)
От $\triangle CDH \rightarrow \frac{DH}{CH} = tg\beta \Rightarrow DH = \frac{\sqrt{3}}{3}.tg\beta$(2)
От ( 1 ) и ( 2 ) $\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{6}.tg\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}.tg\beta \Rightarrow$
$$tg\alpha = 2.tg\beta$$

[S.B.]

Без заглавие (97).png (294.97 KiB) Прегледано 172 пъти

зад1. Намерете обема на правилна четириъгълна пирамида с височина h и ъгъл между два съседни околни ръба 2[tex]\alpha[/tex].

Означавам околния ръб с $l$, а основния ръб с $a$.Основата е квадрат [tex]\Rightarrow AC = BD = a\sqrt{2}[/tex]
За $\triangle BCM$ прилагам Косинусова теорема :
$a^{2} = 2l^{2}(1 - cos\alpha)$ ( 1 )
От $\triangle HMB$ по Питагор :
$HB^{2} = BM^{2} - HM^{2} \Leftrightarrow (\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2} = l^{2} - h^{2} \Leftrightarrow \frac{2a^{2}}{4} = l^{2} - h^{2} \Rightarrow a^{2} = 2l^{2} - 2h^{2}$ ( 2 )
От ( 1 ) и ( 2 ) , като ги приравнявам получавам:
$2l^{2}(1 - cos\alpha) = 2l^{2} - 2h^{2} \Leftrightarrow 2h^{2} = 2l^{2}[1 - (1 - cos\alpha)] \Leftrightarrow h^{2} = l^{2}cos\alpha \Rightarrow l^{2} = \frac{h^{2}}{cos\alpha}$
Замествам в ( 1 ) и получавам:
$a^{2} = 2l^{2} ( 1 - cos\alpha) =\displaystyle \frac{2h^{2}}{cos\alpha}(1 - cos\alpha)\Rightarrow a^{2} = \displaystyle\frac{4h^{2}sin^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{cos\alpha}$

$V_{MABCD } = \displaystyle\frac{S_{ABCD }.h}{3} \Leftrightarrow V_{MABCD } = \displaystyle\frac{1}{3}.a^{2}h =\displaystyle \frac{1}{3}\displaystyle\frac{4h^{2}sin^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{cos\alpha}.h$ $$V_{MABCD } = \displaystyle\frac{4h^{3}sin^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{3cos\alpha}$$