В ромба ABCD височината DL пресича диагонала AC в точка M

[mn246]

В ромба ABCD височината DL пресича диагонала AC в точка M . Ако DM : ML = 3: [tex]\sqrt{5}[/tex]то синусът на [tex]\angle[/tex] BCD е:

[Евва]

Диагоналът АС се явява ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]BAD т.е. АМ е ъглополовяща на [tex]\triangle[/tex]ALD [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{MD}{ML}[/tex]=[tex]\frac{AD}{AL}[/tex] ;[tex]\frac{3x}{\sqrt{5}x}[/tex]=[tex]\frac{AD}{AL}[/tex] ;[tex]\frac{AD}{AL}[/tex]=[tex]\frac{3}{\sqrt{5}}[/tex] ;нека AD=3a , AL=[tex]\sqrt{5}[/tex]a
([tex]\triangle[/tex]ALD-правоъгълен) [tex]AL^{2}[/tex]+[tex]DL^{2}[/tex]=[tex]AD^{2}[/tex] ; 5[tex]a^{2}[/tex]+([tex]3+\sqrt{5})^{2}[/tex][tex]x^{2}[/tex]=9[tex]a^{2}[/tex] ; ([tex]\frac{x}{a})^{2}[/tex]=[tex]\frac{4}{14+6\sqrt{5}}[/tex]

([tex]\frac{x}{a})^{2}[/tex]=[tex]\frac{4}{14+\sqrt{180}}[/tex] .[tex]\frac{14-\sqrt{180}}{14-\sqrt{180}}[/tex]=[tex]\frac{4(14-\sqrt{180})}{16}[/tex] =[tex]\frac{14-\sqrt{180}}{4}[/tex]

Тогава [tex]\frac{x}{a}[/tex]=[tex]\sqrt{\frac{14-\sqrt{180}}{4}}[/tex] =[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\sqrt{14-\sqrt{180}}[/tex]

Tук ще използваме формулата [tex]\sqrt{А-\sqrt{B}}[/tex] =[tex]\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^{2}-B}}{2}}[/tex] - [tex]\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^{2}-B}}{2}}[/tex]

[tex]\frac{x}{a}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex][ [tex]\sqrt{\frac{14+4}{2}}[/tex] - [tex]\sqrt{\frac{14-4}{2}}[/tex] ]=[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{\sqrt{18}-\sqrt{10}}{\sqrt{2}}[/tex] =[tex]\frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{5})}{2\sqrt{2}}[/tex] =[tex]\frac{3-\sqrt{5}}{2}[/tex]

Намерихме [tex]\frac{х}{а}[/tex]=[tex]\frac{3-\sqrt{5}}{2}[/tex]

sin[tex]\angle[/tex]BCD=sin[tex]\angle[/tex]BAD=sin[tex]\angle[/tex]LAD=[tex]\frac{DL}{AD}[/tex]=[tex]\frac{(3+\sqrt{5})x}{3a}[/tex]=[tex]\frac{3+\sqrt{5}}{3}[/tex].[tex]\frac{x}{a}[/tex]=[tex]\frac{3+\sqrt{5}}{3}[/tex].[tex]\frac{3-\sqrt{5}}{2}[/tex] =[tex]\frac{9-5}{6}[/tex]=[tex]\frac{4}{6}[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex]

Скрит текст: покажи

Не успях да намеря по-кратко и лесно решение.

[S.B.]

Без заглавие (98).png (227.54 KiB) Прегледано 946 пъти

В ромба ABCD височината DL пресича диагонала AC в точка M . Ако DM : ML = 3: [tex]\sqrt{5}[/tex]то синусът на [tex]\angle[/tex] BCD е:

Още един поглед върху задачата

Нека страната на ромба е $a$ , а $\angle BCD = \angle BAD = \alpha$
Едно от свойствата на ромба е,че диагоналите му се явяват и ъглополовящи.За [tex]\triangle ALD[/tex] прилагам свойството на ъглополовящата (в случая ъглополовящата е $AM$):
$\frac{AL}{AD} = \frac{LM}{DM} \Leftrightarrow \frac{AL}{a} = \frac{\sqrt{5}x}{3x} \Rightarrow AL = a\frac{\sqrt{5}}{3}$
От $\triangle ALD \rightarrow cos\alpha = \displaystyle\frac{AL}{AD} = \displaystyle \frac{a\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}}{a} \Rightarrow cos\alpha = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$
$sin\alpha = \sqrt{1 - cos^{2}\alpha} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
$$sin\angle BCD = sin\angle BAD = sin\alpha = \frac{2}{3}$$

[Knowledge Greedy]

Може и така. (Ще използвам мързелански чертежа на S.B. Благодаря, S.B. !
Диагоналът на ромба е ъглополовяща на ъглите през чиито върхове минава.
Затова само от правоъгълното триъгълниче [tex]\triangle ALD[/tex] и неговата правоъгълна частичка [tex]\triangle ALM[/tex]
написвам два тангенса, които разделям, за да елиминирам параметрите.
[tex]tg\alpha =\frac{(3+\sqrt{5})x}{AL}[/tex]

[tex]tg\frac{\alpha}{2}=\frac{x\sqrt{5}}{AL}[/tex]

[tex]\frac{tg\alpha}{tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}[/tex]

Следва прилагане на формулата [tex]tg\alpha = \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1-tg\frac{\alpha}{2}}[/tex] и след полагане [tex]tg\frac{\alpha}{2}=t[/tex],
полученото отгоре дробно уравнение, след съкращаване (при което няма как да загубим корени) се получава
непълното квадратно уравнение [tex]t^2=\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}[/tex]
Връщаме се към тригонометрията [tex]sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}cos^2\frac{\alpha}{2}[/tex]
и оттук
[tex]cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{6}[/tex]
и
[tex]sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{6}[/tex]
А като ги умножим съвместно, почленно и с една четворка, се получава [tex]sin^2\alpha = \frac{16}{36} \,\ \Leftrightarrow \,\ sin\alpha =\frac{2}{3}[/tex]