ЛОКАЛ МАКСИМУМ

[mn246]

Локалният максимум на функцията f(x)=[tex]\frac{4}{x^{2}-4x+8}[/tex] , x[tex]\epsilon[/tex] (-[tex]\infty[/tex], +[tex]\infty[/tex])

[Sup3rlum]

Диференшиейт

[peyo]

Локалният максимум на функцията f(x)=[tex]\frac{4}{x^{2}-4x+8}[/tex] , x[tex]\epsilon[/tex] (-[tex]\infty[/tex], +[tex]\infty[/tex])

Производната на $x^{2}-4x+8$ е $2x-4$ значи x=2 e локален минимум, защото параболата клони към $+\infty$. Тогава x=2 е локален максимум на функцията f(x).

[Knowledge Greedy]

Може и така.

Гледаме знаменателя [tex]x^2-4x+8[/tex]
Отделяме точен квадрат
[tex](x-2)^2+4[/tex]
Всеки квадрат е неотрицателен, т. е. [tex]K^2\ge 0[/tex]
Оттук нещата се развързват като домино.
[tex](x-2)^2\ge 0[/tex]
Добавяме [tex]4[/tex]
[tex](x-2)^2 +4\ge 0+4[/tex]

Дотук знаменателят [tex]x^2-4x+8\ge 4[/tex]
Обръщаме го (– реципрочното) [tex]\frac{1}{x^2-4x+8}\le \frac{1}{4}[/tex]
Умножаваме го по [tex]4[/tex]
[tex]\frac{4}{x^2-4x+8}\le \frac{4}{4}[/tex]
Лявата страна е [tex]f(x)[/tex] , следователно - след като за всяко [tex]x \,\ \Rightarrow \,\ f(x)\le 4[/tex], това означава, че [tex]4[/tex] е най-голямата стойност на [tex]f(x)[/tex]

И най-важното, което остана - за кое [tex]x[/tex] се достига тази стойност! Ами като се върнем по равенствата на нашата верига от неравенства стигаме отново до [tex](x-2)^2\ge 0[/tex]
равенството тук е възможно единствено когато [tex]x-2=0[/tex], т.е. при [tex]x=2[/tex]

Записваме [tex]f_{max}=max f(x)=f(2)=4[/tex]
което означава, че предвид дефиниционното множество, локалният максимум съвпада с абсолютния максимум, намира се в точката [tex]2[/tex] и е равен на [tex]4[/tex].