неравенство

[mn246]

Да се намерят стойностите на параметра а ,за които неравенството е изпълнено за всички числа х от затворения интервал {0,1}
[tex]x^{2}[/tex]-(a+3)x+2a+2[tex]\le[/tex]0

[Knowledge Greedy]

Означаваме [tex]f(x)=x^2-(a+3)x+2a+2[/tex]
Знаем, че [tex]f(x)<0 \Leftrightarrow x \in (x_1;x_2)[/tex]
Значи трябва да проследим, за кои стойности на [tex]a[/tex] интервалът [0;1] се намира вътре в интервала [x_1;x_2] [tex]^*[/tex]

Тъй като дискриминантата [tex]D=(a+3)^2-4(2a+2)=a^2-2a+1[/tex]
е точен квадрат, [tex]D=(a-1)^2[/tex]
бързо определяме корените
[tex]x_1=a+1[/tex]
и
[tex]x_2=2[/tex]

и остана да разгледаме два случая, тъй като между корените, стойностите на квадратния тричлен са отрицателни (при положителен старши коефициент).
1. [tex]a<2[/tex]
Ясно е, че в този случай [tex]a\le 0[/tex]

2. [tex]a\ge 2[/tex]
Невъзможно - веднага се вижда противоречието със [tex]^*[/tex].

[drago]

Един по-различен подход, който добре помня от много години - не спечелих едно състезание заради това. Идеята е да се реши неравенството относно $a$ и след това да се пусне $x$ да пробяга $[0,1]$ и се види какви условия това налага на параметъра $a$. И така получаваме:
$$(2-x)a\leq -x^2+3x-2$$
При $x\in[0,1]$, $2-x$ e положително и значи
$$a\leq \frac{-x^2+3x-2}{2-x} \quad (1)$$
В случая имаме късмет, защото $-x^2+3x-2=-(x-1)(x-2)$ и
$$a\leq x-1\quad (2)$$
T.e. когато $x\in [0,1]$, изразът $x-1\in [-1,0]$. И така, това, условието $(2)$ да е изпълнено за всяко $x\in [0,1]$ е еквивалентно с $a\leq -1$.

Забележка. Има два подхода- единият е този, другият е както на Knowledge Greedy.
Показания метод в някои случаи е по-мощен. Например, ако $D$ не беше точен квадрат (виж горния пост), то ще е по-трудно да проверяваме кога $[0,1]$ се намира вътре в $[x_1,x_2]$. Тук обаче това ще означава, че няма да можем да съкратим на $2-x$ в $(1)$. Това няма да ни сбърка много, защото просто ще изследваме дясната част на $(2)$ в какъв диапазон се променя. Е, малко по-трудно ще е, трябва да се вземе една производна, за да се види за намаляване-растене, но не е нещо особено да се сметне.

[vezni]

Не е ли по-просто да забележим, че
[tex]x^2-(a+3)x+2a+2=(x-2)(x-(a+1))\leq 0[/tex]
Решенията на неравенството са [tex][a+1;2][/tex] или [tex][2;a+1][/tex]. За да се съдържа интервала [tex][0;1][/tex] в решенията, трябва те
да са [tex][a+1,2][/tex] и [tex]a+1\leq 0\Leftrightarrow a\leq -1[/tex].

[drago]

Да, в случая може би. Говорех за метод, който трябва да се знае.