система от уравнеия

[mn246]

Да се намерят стойностите на реалния параметър а , за които е изпълнено:
ако (x,y) е решение на системата то е вярно че x<1<y или y<1<x
x+y=2a
xy=[tex]a^{2}[/tex]-1

[Knowledge Greedy]

Щом [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] удовлетворяват тази система, можем да ги разглеждаме като корени на едно уравнение, удовлетворяващи формулите на Виет за него.
Ето го
[tex]t^2-2at+a^2-1=0[/tex]
И естествено, за да ги има като реални числа тези [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] , дискриминантата на това уравнение трябва да е положителна - все пак корените трябва да са различни,
за да може единицата да се напъха между тях .
Но ако означим [tex]f(t)=t^2-2at+a^2-1[/tex]
условието едно число [tex]\lambda[/tex] да се намира между корените на квадратния тричлен е равносилно на неравенството [tex]af(1)<0[/tex]
(Ето как икономисваме усилия от разправия с дискриминантата!)
[tex]f(1)=1-2a+a^2-1=a^2-2a[/tex]
и остава да решим неравенството [tex]a^2-2a<0[/tex]
Отговор: [tex]a\in (0;2)[/tex]