Логаритмични уравнения

[Гост]

Може ли да ми помогнете с решението на д),е),з) пример

[Добромир Глухаров]

$x^{log_2\sqrt{x}}=\sqrt{2}$

$log_2\left(x^{log_2\sqrt{x}}\right)=log_2\sqrt{2}$

$log_2\sqrt{x}.log_2x=log_2\left(2^{\frac{1}{2}}\right)$

$log_2\sqrt{x}.log_2\left(\sqrt{x}\right)^2=\frac{1}{2}$

$2.(log_2\sqrt{x})^2=\frac{1}{2}$

$(log_2\sqrt{x})^2=\frac{1}{4}$

$log_2\sqrt{x}=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}$

$\sqrt{x}=2^{\pm\frac{1}{2}}$

$x=2^{\pm1}=2;\frac{1}{2}$

[S.B.]

Може ли да ми помогнете с решението на д),е),з) пример

[tex]log_{0,5x }x^{2} - 14log_{16x }x^{3} + 40log_{4x }\sqrt{x} = 0[/tex]
Д.М. $x > 0 , x \ne 2 , x\ne \frac{1}{16} , x \ne \frac{1}{4}$

$2log_{0,5x }x - 42log_{16x }x + 20log_{4x }x = 0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2log_{x }x}{log_{x }\displaystyle\frac{x}{2}} - \displaystyle\frac{42log_{x }x}{log_{x }16x} + \displaystyle\frac{20log_{x }x}{log_{x }4x} = 0$
$\frac{2}{log_{x }x - log_{x }2} - \frac{42}{log_{x }16 + log_{x }x} + \frac{20}{log_{x }4 + log_{x }x} = 0$
$\frac{1}{1 - log_{x }2} - \frac{21}{log_{x }2^{4} + 1} + \frac{10}{log_{x }2^{2} + 1} = 0 $
$\frac{1}{1 - log_{x }2} - \frac{21}{4log_{x }2 + 1} + \frac{10}{2log_{x }2 + 1} = 0$
Полагам $log_{x }2 = t$,замествам и получавам:
$\frac{1}{1 - t} - \frac{21}{4t + 1} + \frac{10}{2t + 1} = 0 \Leftrightarrow $
$(4t + 1)(2t + 1) - 21(1 - t)(2t + 1) + 10(1 -t)(4t + 1) = 0$
След преработка $ \Rightarrow 2t^{2} + 3t - 2 = 0 ,D = 25, t_{1 } = -4 , t_{2 } = 1$
Връщам субституцията :
$log_{x }2 = - 4 \Leftrightarrow x^{- 4} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \in$ Д.М.
$log_{x }2 = 1 \Leftrightarrow x = 2 \notin$ Д.М.

Скрит текст: покажи

Ако не съм оплескала сметките е толкова.Идеята е ясна

[Добромир Глухаров]

$3^x=10-log_2x$

Лявата страна е монотонно растяща функция, а дясната - монотонно намаляваща, следователно уравнението може да има най-много един корен - реално число.

С непосредствена проверка установяваме, че $x=2$