Тригонометрични уравнения в интервал

[Гост]

Може ли малко помощ с решението на тези две задачи?
Интервала [-p/2;p/2] от къде до къде се гледа

[Гост]

Гледа се от минус пи върху две до пи върху две.

[Knowledge Greedy]

Ясно е, че трябва да разкрием модулните скоби.

Резултатът ще оформим "на едро" със следните две системи. (Написах "на едро" в смисъл, че в началото няма да правя подробен анализ за [tex]x[/tex], само ще отбележа функцията [tex]sinx<0[/tex] или [tex]sinx>0[/tex])
[tex]\begin{array}{|l} sinx >0 \\ sin^2x = 3cos^2x -2 \\ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \end{array}[/tex] е едната от тях. Самото решение следва елементарната логика: една функция, на един аргумент, от възможно по-ниска степен, едно уравнение.

Всеки знае, че [tex]sin^2х+cos^2х=1[/tex]
С негова помощ от уравнението става [tex]4cos^2x-3=0[/tex]
Системата вече изглежда [tex]\begin{array}{|l} sinx >0 \\ cosx=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \end{array}[/tex]
Но първото и третото са изпълнени за всяко описано x: [tex]\begin{array}{|l} sinx >0 \\ cosx=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 < x \le \frac{\pi}{2} \end{array}[/tex]
Следователно второто [tex]cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], а от него следва, че в посочения интервал единствен корен е [tex]x=\frac{\pi}{6}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} sinx <0 \\ - sin^2x = 3cos^2x -2 \\ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \end{array}[/tex] е втората система.
Отново с [tex]sin^2х+cos^2х=1[/tex] свеждаме системата до [tex]\begin{array}{|l} sinx <0 \\ 0 = 2cos^2x -1 \\ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} sinx <0 \\ 0 = 2cos^2x -1 \\ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \end{array}[/tex]
Като отчитаме къде [tex]x[/tex] е отрицателен, редуцираме третото неравенство и преработваме второто (уравнение) [tex]\begin{array}{|l} sinx <0 \\ cosx=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\pi}{2} \le x <0 \end{array}[/tex]
Следователно [tex]cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], което дава втори корен [tex]x= -\frac{\pi}{4}[/tex]

[Гост]

Ясно е, че трябва да разкрием модулните скоби.

Резултатът ще оформим "на едро" със следните две системи. (Написах "на едро" в смисъл, че в началото няма да правя подробен анализ за [tex]x[/tex], само ще отбележа функцията [tex]sinx<0[/tex] или [tex]sinx>0[/tex])
[tex]\begin{array}{|l} sinx >0 \\ sin^2x = 3cos^2x -2 \\ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \end{array}[/tex] е едната от тях. Самото решение следва елементарната логика: една функция, на един аргумент, от възможно по-ниска степен, едно уравнение.

Всеки знае, че [tex]sin^2х+cos^2х=1[/tex]
С негова помощ от уравнението става [tex]4cos^2x-3=0[/tex]
Системата вече изглежда [tex]\begin{array}{|l} sinx >0 \\ cosx=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \end{array}[/tex]
Но първото и третото са изпълнени за всяко описано x: [tex]\begin{array}{|l} sinx >0 \\ cosx=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 < x \le \frac{\pi}{2} \end{array}[/tex]
Следователно второто [tex]cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], а от него следва, че в посочения интервал единствен корен е [tex]x=\frac{\pi}{6}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} sinx <0 \\ - sin^2x = 3cos^2x -2 \\ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \end{array}[/tex] е втората система.
Отново с [tex]sin^2х+cos^2х=1[/tex] свеждаме системата до [tex]\begin{array}{|l} sinx <0 \\ 0 = 2cos^2x -1 \\ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} sinx <0 \\ 0 = 2cos^2x -1 \\ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \end{array}[/tex]
Като отчитаме къде [tex]x[/tex] е отрицателен, редуцираме третото неравенство и преработваме второто (уравнение) [tex]\begin{array}{|l} sinx <0 \\ cosx=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\pi}{2} \le x <0 \end{array}[/tex]
Следователно [tex]cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], което дава втори корен [tex]x= -\frac{\pi}{4}[/tex]

Благодаря много!Не ми стана ясно обаче защо вторият корен (\frac{\pi}{4}) е с минус .

[Knowledge Greedy]

Вторият корен е с минус, защото във втората система [tex]sinx<0 \,\ \Rightarrow \,\ - \frac{\pi}{2} \lex<0[/tex]