Задачи от изпит в ТУ

[Гост]

Може ли помощ с тези задачи или по е с едната от тях??

[S.B.]

[tex]2sin^{2}2x + cos2x = 1[/tex]
Прилагам формулата за понижаване на степента:

$1 - cos4x + cos2x = 1 \Leftrightarrow cos2x - cos4x = 0 \Leftrightarrow - 2sin3x.sin(-x) = 0 \Leftrightarrow sin3x.sinx = 0$

$sin3x = 0 \cup sinx = 0$

$sin3x = 0 \Leftrightarrow 3x = k\pi \Leftrightarrow x = k\frac{\pi}{3}$ , но $x\in [0, \frac{\pi}{2}] \Rightarrow x_{1 } = \frac{\pi}{3}$

$sinx = 0 \Leftrightarrow x = k\pi $ , но $x\in [0 , \frac{\pi}{2}] \Rightarrow x_{2 } = 0$

[Гост]

[tex]2sin^{2}2x + cos2x = 1[/tex]
Прилагам формулата за понижаване на степента:

$1 - cos4x + cos2x = 1 \Leftrightarrow cos2x - cos4x = 0 \Leftrightarrow - 2sin3x.sin(-x) = 0 \Leftrightarrow sin3x.sinx = 0$

$sin3x = 0 \cup sinx = 0$

$sin3x = 0 \Leftrightarrow 3x = k\pi \Leftrightarrow x = k\frac{\pi}{3}$ , но $x\in [0, \frac{\pi}{2}] \Rightarrow x_{1 } = \frac{\pi}{3}$

$sinx = 0 \Leftrightarrow x = k\pi $ , но $x\in [0 , \frac{\pi}{2}] \Rightarrow x_{2 } = 0$

Много благодаря! Само не ми стана ясно как получаваме : −2sin3x.sin(−x)=0

[S.B.]

Много благодаря! Само не ми стана ясно как получаваме : −2sin3x.sin(−x)=0

$ cos\alpha - cos\beta = - 2sin\frac{\alpha + \beta}{2}.sin\frac{\alpha - \beta}{2}$ - това е формулата за разлика на два косинуса

[tex]cos2x - cos4x = 0 \Leftrightarrow - 2sin\frac{2x + 4x}{2}.sin\frac{2x - 4x}{2} =0 \Leftrightarrow - 2sin\frac{6x}{2}.sin\frac{-2x}{2} = 0 \Leftrightarrow -2sin3x.sin(-x) = 0[/tex]
$sin(-x) = - sinx \Rightarrow - 2sin3x.sin(-x) = (- 1).(-2).sin3x.sinx = 2sin3x.sinx$

[Добромир Глухаров]

$sinx|sinx|=3cos^2x-2;\ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\Rightarrow cosx\geq0$

1.) $sinx<0\Leftrightarrow x\in\left[-\frac{\pi}{2};0\right);\ |sinx|=-sinx$

$-sin^2x=3cos^2x-2$

$3cos^2x+sin^2x=2$

$2cos^2x+(sin^2x+cos^2x)=2$

$2cos^2x+1=2$

$cos^2x=\frac{1}{2}$

$cosx=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\color{red}\boxed{\color{black}x=-\frac{\pi}{4}}$

2.) $sinx\geq0\Leftrightarrow x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right];\ |sinx|=sinx$

$sin^2x=3cos^2x-2$

$1-cos^2x=3cos^2x-2$

$4cos^2x=1+2$

$cos^2x=\frac{3}{4}$

$cosx=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\color{red}\boxed{\color{black}x=\frac{\pi}{6}}$