Призма

[BaiStamat]

Правилна четириъгълна призма - ABCDA1B1C1D1.
Търсе се разстоянието от върха С до равнината (BDC1).
Основен ръб - а.
Височина - h

[S.B.]

Без заглавие - 2020-04-06T210319.788.png (245.87 KiB) Прегледано 271 пъти

Правилна четириъгълна призма - ABCDA1B1C1D1.
Търсе се разстоянието от върха С до равнината (BDC1).
Основен ръб - а.
Височина - h

[tex]AC\cap BD = E[/tex]
(От диагонала $AC$ на чертежа е излязла само половинката $EC$ ,но за сметка на това е чертежа е зелен,като парковете и градинките,които толкова ни липсват тази пролет... )
Разстоянието от $C$ до равнината $DBC_{1 }$ се явява височината $FC$ в $\triangle ECC_{1 }$
За $\triangle ECC_{1 }$ знаем $CC_{1 } = h, EC = \frac{a\sqrt{2}}{2} ,\angle C_{1 }CE = 90^\circ \rightarrow EC_{1 }^{2} = h^{2} + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2} \Leftrightarrow EC_{1 } = \sqrt{h^{2} + \frac{a^{2}}{2}} \Rightarrow EC_{1 } = \sqrt{\frac{2h^{2} + a^{2}}{2}}$
$S_{EOC_{1 } } =\frac{1}{2} .\frac{h.a\sqrt{2}}{2} = \frac{ah\sqrt{2}}{4}$ , $S_{EOC_{1 } } = \frac{EC_{1 }.FC}{2} = \frac{FC}{2}\sqrt{\frac{2h^{2} + a^{2}}{2}}$
Приравнявам и получавам: $\frac{FC}{2}\sqrt{\frac{2h^{2} + a^{2}}{2}} = \frac{ah\sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow FC = \frac{ah\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2h^{2} + a^{2}}}$
$$FC = \frac{ah}{\sqrt{2h^{2} + a^{2}}} $$

[Knowledge Greedy]

Обемът на пирамидата [tex]BDCC_1[/tex] e [tex]V=\frac{1}{6}a^2h[/tex]
За да открием разстоянието от върха [tex]C[/tex] до равнината [tex](BDC_1)[/tex], трябва ни височината към тази стена в пирамидата [tex]BDCC_1[/tex]
Лицето [tex]S_{BDC_1}[/tex] смятаме чрез лицето на проекцията му върху равнината на основата [tex]\frac{1}{4}a^2[/tex] и косинуса на ъгъла [tex]\angle COC_1[/tex], който сключва тази равнина с основата.
Също очевидно [tex]cos \angle COC_1= \frac{a\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{h^2+\frac{a^2}{2}}}[/tex]
Остава новото число за обема
[tex]V=\frac{1}{3}\frac{\frac{1}{4}a^2}{ \frac{a\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{h^2+\frac{a^2}{2}}}} CN[/tex]

да приравним на старото - от първия ред и получаваме височината [tex]CN[/tex].