Дължината на страните на правоъгълник с най-голямо лице

[Гост]

Може ли някой да ми помогне с няколко задачки?

зад1. Правоъгълник има периметър 2p. Намерете дължината на страните му, при които лицето му е най-голямо.

зад2. Правоъгълник има лице S. Намерте дължините на страните му, при които периметърът му е най-малък.

зад3. В окръжност с радиус R е вписан трапец с основа 2R. Измежду всички такива трапеци намерте този, който има най-голямо лице. Пресметнете това лице.

[Knowledge Greedy]

Да
1. [tex]AB=BC=CD=DA=\frac{p}{2}[/tex] Самото лице е [tex]S_{max}=\frac{p^2}{4}[/tex]
2. [tex]AB=BC=CD=DA=\sqrt{S}[/tex] Самият периметър e [tex]P_{min}=4\sqrt{S}[/tex]
3. Трябва ми информация, в кой клас си.

[Гост]

Да
1. [tex]AB=BC=CD=DA=\frac{p}{2}[/tex] Самото лице е [tex]S_{max}=\frac{p^2}{4}[/tex]
2. [tex]AB=BC=CD=DA=\sqrt{S}[/tex] Самият периметър e [tex]P_{min}=4\sqrt{S}[/tex]
3. Трябва ми информация, в кой клас си.

12

[Knowledge Greedy]

Задачата е и трудна и не е. Зависи каква параметризация, какъв модел ще предложи решаващият. И дали ще му помогне … аудиторията.

Означаваме малката основа [tex]CD=2x[/tex].

Трапец вписан в окръжност екстремална.png (5.15 KiB) Прегледано 644 пъти

За да използваме максимално симетрията, построяваме диаметър [tex]PQ\bot AB[/tex]
Пресечната му точка с горната основа нека е [tex]N[/tex], височината, която ни трябва за лицето [tex]NO=h[/tex]
От свойство на пресичащите се хорди [tex]DN.CN=PN.NQ \,\ \Leftrightarrow \,\ x^2=(R-h)(R+h)[/tex]
От последното равенства да изразим [tex]h[/tex] и да го поставим във формулата за лицето.
[tex]h^2=R^2-x^2[/tex]

[tex]S_{ABCD}=\frac{2R+2x}{2}\sqrt{R^2-x^2}[/tex]

Лицето ще достигне своята най-голяма стойност, когато достигне своята най-голяма стойност и неговият квадрат [tex]S_{ABCD}^2=(R+x)^3(R-x)[/tex] .
Да разгледаме израза [tex]F(x)=3S_{ABCD}^2[/tex]
Той се състои от четири множителя, три от които са равни [tex]F(x)=(R+x)(R+x)R+x)(3R-3x)[/tex]
Прилагаме неравенството СГ-СА между средно геометричното и средно аритметичното на четирите положителни числа [tex](R+x),(R+x),(R+x)[/tex] и [tex](3R-3x)[/tex]

[tex]\sqrt[4]{(R+x)(R+x)R+x)(3R-3x)}\le \frac{(R+x)+(R+x)+(R+x)+(3R-3x)}{4}[/tex]
В лявата страна се озова нуждаещата се от мажоризация функция на лицето, а вдясно - само една константа.
[tex]\sqrt[4]{3S_{ABCD}^2}\le \frac{3R}{2} \,\ \Leftrightarrow \,\ S_{ABCD}^2\le \frac{27R^2}{16}[/tex]

Следователно [tex]S_{ABCD} \le \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}[/tex] - вдясно е най-голямата стойност, а тя се достига (както казва Г-жа Теорията) тогава и само тогава, когато всички са равни, т.е. [tex]R+x=3R-3x[/tex]

[tex]x=\frac{R}{2}[/tex], а височината [tex]h=\frac{\sqrt{3}}{2}R[/tex]