Намерете най-голямата стойност на лицето на правоъгълника

[Гост]

зад. в правоъгълен трапец с височина h и основи a и b (а>б) е вписан правоъгълник, за който два от върховете лежат на голямата основа, а другите два- на бедрата. Намерете най-голямата стойност на лицето на правоъгълника, ако:
А) а=8см б=6см, h=10см
Б) а=24см , б=8см, h=12см.

[KOPMOPAH]

Задачата е доста интересна. В началото се позачудих защо има две еднакви подусловия с различни данни
Ще започна от подусловие Б)
Продълженията на бедрата се пресичат в т.$E$. Отбелязваме $ED$ с $m$, страните на вписания правоъгълник - с $x$ и $y$.

От подобието $$\triangle EDC \approx \triangle EAB \Rightarrow \frac {m}{b}=\frac {m+h}{a}\Rightarrow {\color{blue}\boxed{{\color{black}m=\frac{b}{a-b} h}}}$$
От подобието $$\triangle EMN \approx \triangle EAB \Rightarrow \frac {x}{a}=\frac {EN}{EB} ~~~~~~~~(1)$$
От подобието $$\triangle NLB \approx \triangle EAB \Rightarrow \frac {y}{m+h}=\frac {BN}{EB} ~~~~~~~~(2)$$
Събираме равенствата $(1)$ и $(2)$ и получаваме:$$\frac {x}{a}+\frac {y}{m+h}=\frac {EN}{EB}+\frac {BN}{EB}=\frac {EB}{EB}=1~~~(3)$$
В равенство $(3)$ извършваме действията и получаваме връзката между $x$ и $y$:$$x(m+h)+ya=a(m+h)...\Rightarrow y=\frac{h(a-x)}{a-b}$$
За лицето на правоъгълника се получава:$$S=xy=\frac{xh(a-x)}{a-b}=\frac h{a-b}\left(-x^2+ax\right)$$
Намираме производната, приравняваме я на нула:$$S'=\frac h{a-b}(-2x+a)\Rightarrow {\color{blue}\boxed{{\color{black}x= \frac a2}}}$$
Оказва се, че лицето е максимално при $x= \frac a2$

И тука се разбира защо има две подусловия. В първото от тях максимално е лицето на правоъгълника $AJQP$, където т.$Q$ е пресечената точка на симетралата на основата и бедрото $BC$ - в случая неговото ПРОДЪЛЖЕНИЕ. За най-голямо съжаление, част от правоъгълника с максимално лице лежи ИЗВЪН трапеца и затова се ограничаваме с правоъгълника $ALCD$.

Във второто подусловие отговорът е - максимално е лицето на правоъгълника $AJQP$.

[Гост]

Задачата е доста интересна. В началото се позачудих защо има две еднакви подусловия с различни данни
Ще започна от подусловие Б)
Продълженията на бедрата се пресичат в т.$E$. Отбелязваме $ED$ с $m$, страните на вписания правоъгълник - с $x$ и $y$.

От подобието $$\triangle EDC \approx \triangle EAB \Rightarrow \frac {m}{b}=\frac {m+h}{a}\Rightarrow {\color{blue}\boxed{{\color{black}m=\frac{b}{a-b} h}}}$$
От подобието $$\triangle EMN \approx \triangle EAB \Rightarrow \frac {x}{a}=\frac {EN}{EB} ~~~~~~~~(1)$$
От подобието $$\triangle NLB \approx \triangle EAB \Rightarrow \frac {y}{m+h}=\frac {BN}{EB} ~~~~~~~~(2)$$
Събираме равенствата $(1)$ и $(2)$ и получаваме:$$\frac {x}{a}+\frac {y}{m+h}=\frac {EN}{EB}+\frac {BN}{EB}=\frac {EB}{EB}=1~~~(3)$$
В равенство $(3)$ извършваме действията и получаваме връзката между $x$ и $y$:$$x(m+h)+ya=a(m+h)...\Rightarrow y=\frac{h(a-x)}{a-b}$$
За лицето на правоъгълника се получава:$$S=xy=\frac{xh(a-x)}{a-b}=\frac h{a-b}\left(-x^2+ax\right)$$
Намираме производната, приравняваме я на нула:$$S'=\frac h{a-b}(-2x+a)\Rightarrow {\color{blue}\boxed{{\color{black}x= \frac a2}}}$$
Оказва се, че лицето е максимално при $x= \frac a2$

И тука се разбира защо има две подусловия. В първото от тях максимално е лицето на правоъгълника $AJQP$, където т.$Q$ е пресечената точка на симетралата на основата и бедрото $BC$ - в случая неговото ПРОДЪЛЖЕНИЕ. За най-голямо съжаление, част от правоъгълника с максимално лице лежи ИЗВЪН трапеца и затова се ограничаваме с правоъгълника $ALCD$.

Във второто подусловие отговорът е - максимално е лицето на правоъгълника $AJQP$.

А всъщност какво е лицето , понеже то се търси

[KOPMOPAH]

Като имаш всички данни не можеш ли да го намериш? В първия случай е $by=bh$, във втория $xy$.

[Gruicho]

А всъщност какво е лицето , понеже то се търси

Лицето е правоъгълно
А ако питаш "Колко е?" - използвай формулите
И кжи едно благодаря,виж човека колко добре го е обяснил,само най-глупавите няма да разберат