Граници на редици

[Гост]

a) [tex]\lim_{x \to \infty}[/tex] [tex]\frac{(x+1)^{6}}{(x+1)^{7} - x^{7}}[/tex]

б) [tex]\lim_{x \to \infty}[/tex] [tex](\frac{x-4}{x+6})^{x+1}[/tex]

[Добромир Глухаров]

$(x+1)^7-x^7=x^7+7x^6+{7\choose2}x^5+{7\choose3}x^4+\cdots+1-x^7=7x^6+o(x^6)$

$(x+1)^6=x^6+6x^5+{6\choose2}x^4+\cdots+1=x^6+o(x^6)$

$\lim_{x\to\infty}\frac{(x+1)^6}{(x+1)^7-x^7}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^6+o(x^6)}{7x^6+o(x^6)}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{o(x^6)}{x^6}}{7+\frac{o(x^6)}{x^6}}=\frac{1+0}{7+0}=\frac{1}{7}$

[Добромир Глухаров]

$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-4}{x+6}\right)^{x+1}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+6-10}{x+6}\right)^{x+6-5}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{10}{x+6}\right)^{x+6}\cdot\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{10}{x+6}\right)^{-5}=e^{-10}.1^{-5}=e^{-10}$