Параметрично неравенство

[Гост]

Здравейте,може ли помощ с решението на тази задача от предварителен изпит в ТУ

[Davids]

$\frac{x^2 + ax}{x^2 + x + 1} < 3$

$\frac{x^2 + ax - 3(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} < 0$

$\frac{-2x^2 + (a - 3)x - 3}{x^2 + x + 1} < 0$

Знаменателят винаги е положителен, тъй като е с отрицателна дискриминанта и коефициентът пред висшата степен е 1 > 0, затова ни интересува само знакът на числителя да е отрицателен:
$\Leftrightarrow -2x^2 + (a - 3)x - 3 < 0$
$2x^2 - (a - 3)x + 3 > 0$

Отново, за да е един тричлен винаги положителен, трябва дискриминантата му да е строго отрицателна, т.е.:
$D = (a-3)^2 - 24 < 0$
$a^2 - 6a - 15 < 0$
$\Rightarrow a \in (3 - 2\sqrt{6}; 3 + 2\sqrt{6})$

Целочислени стойности в този интервал са: $a \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$