Задачи от изпит

[Гост]

Здравейте,може ли помощ с решението на тези задачи

[ptj]

Малко разяснение по 29-та:
Двустенните ъгли ще са [tex]x,2x,4x,2x[/tex]. Търси се най-малката стойност на [tex]x[/tex].

Пирамидата е симетрична спрямо равнина перпендикулярна на основата , минаваща през две от срещуполжните среди на квадрата (защо).
Тогава търсеното условие се трансформира в: най-малката стойност на остър ъгъл в триъгълник, т.е. [tex]x+4x<180^\circ[/tex].
Освен това имаме ограничение : [tex]2x<90^\circ\Leftrightarrow x<45^\circ[/tex].
Решението е "[tex]x[/tex] клони към [tex]0^\circ[/tex].

Най-вероятно авторите са объркали условието и трябвало да се търси максимума на най-малкия двустенен ъгъл.
В този случай отговора ще е [tex]x<36^\circ[/tex].

[Knowledge Greedy]

29.) Ще използвам означенията на ptj. (При необходимост, ще помогнем с чертеж.)

Явно условието води до уравнението [tex]cotgx+cotg3x=cotg2x+cotg4x[/tex]
[tex]cotgx-cotg3x=cotg2x-cotg3x[/tex]
[tex]\frac{cos5x}{sinxsin4x}=\frac{cos5x}{sin2xsin3x}[/tex]

Оттук е ясно, че трябва [tex]cos5x=0[/tex] е едната възмоност,
т.е. [tex]5x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] и в условието на пирамида [tex]x=\frac{\pi}{10}[/tex], т.е. [tex]x=18^\circ[/tex]

Втората възможност е след съкращаване на [tex]cos5x[/tex], с предположението [tex]cos5x\ne 0[/tex]
Оставащото
[tex]sinxsin4x=sin2xsin3x[/tex] е равносилно на [tex]cos3x=cosx[/tex], но решенията са извън стойностите, които позволява пирамидата. Отговор [tex]\boxed{x=18^\circ}[/tex]

30.) Не е проблем за тези, които знаят теореми разположението което и да е число спрямо корените на квадратния тричлен.
Ако разглеждаме квадратната функция [tex]f(x)=x^2-(k+1)x+k^2+k-8[/tex], условието за корените [tex]x_1<2<x_2[/tex] на квадратното уравнение [tex]x^2-(k+1)x+k^2+k-8=0[/tex]

е равносилно на [tex]1.f(2)<0[/tex]
На свой ред - след заместването [tex]2^2-(k+1).2+k^2+k-8<0[/tex] дава [tex]\boxed {x\in (-2;3)}[/tex]

[Гост]

Значи решението на ptj e валидно само в случаите, когато 18 клони към нула

[Гост]

Може ли някой да потвърди или оспори, че ако отношението на двустенните ъгли е 1:2:3:2, то най-малкият е 45 градуса

[Гост]

Предложеното решение по-горе е грешно.
Отправната точка ни е:2cotg(2x)=cotgx+cotg(4x). Това води до sin2x=sin4x, т.е. х=30 градуса

[Knowledge Greedy]

Предложеното решение по-горе е грешно.
Отправната точка ни е:2cotg(2x)=cotgx+cotg(4x). Това води до sin2x=sin4x, т.е. х=30 градуса

Нещо се губи [tex]cotg3x[/tex] в твоята версия.

[Гост]

Предложеното решение по-горе е грешно.
Отправната точка ни е:2cotg(2x)=cotgx+cotg(4x). Това води до sin2x=sin4x, т.е. х=30 градуса

Нещо се губи [tex]cotg3x[/tex] в твоята версия.

А може би просто да поставя това тук и да Ви пожелая приятен ден(:
viewtopic.php?f=85&t=15167

[Knowledge Greedy]

Трудно е да общуваш с анонимен. Наистина, грешката е моя - решил съм друга задача.
Учудващото е, че се получи! При отношение 1:2:3:4.
Интересно ..., коя е по-трудна?

[Гост]

Според мен ето тази задача е по-трудна:
Три двустенни ъгъла на тетраедър, които не излизат от един връх, са равни помежду си на 90 градуса. Останалите три двустенни ъгъла също са равни помежду си. Намерете ги.