Мъчителна стереометрия

[Гост]

Права призма с основа ромб със страна 4см и ъгъл 60гр.
Височината на призмата - 4см.
Търсим диагоналите на призмата и ъглите,които те определят с равнината на основата

[mail_dinko]

При станд. означения се получават:
[tex]D_1 B = 4 \sqrt {2}[/tex], който сключва с равнината на основата [tex]\angle D_ 1 BD = 45 ^\circ[/tex]
[tex]AC_1 = 8[/tex], който сключва с равнината на основата [tex]\angle D_ 1 BD = 30 ^\circ[/tex]
Указания за решаване:
Правиш чертеж на призмата. После чертаеш един ромб (о-вата) отделно. Построяваш двата диагонала в ромба (пресечна точка О), които взаимно се разполовяват като във всеки успоредник; а в ромба са перпендикулярни и са ъглополовящи на ъглите. Аз съм избрал ъгъл А да е 60 градуса (по усл.), ако избереш ъгъл В ще се получат същите числа за други означения с букви.
В триъгълник ABD ъглополовящата разделя ъгъл А на 2 ъгъла по 30 градуса; страната AD=4 по усл. се явява хипотенуза в правоъг.тр. От тук определяш OD=2 като катет срещу ъгъл 30 гр. Така следва че DB=4
В тр. AOD чрез питагоровата теорема намираш [tex]AO=2 \sqrt {3}\rightarrow AC= 4 \sqrt {3}[/tex]
В чертежа на призмата с друг цвят химикал за да се вижда построяваш диагонал D1B. Имаш даден DD1=4, намерил си DB - така намираш по питагоровата теорема дължината на новопостроения диагонал. После използваш тригонометрична функция по избор в този тръгълник DD1B И намираш ъгъла, който диагоналът сключва с равнината на основата. Аналогично се подхожда и с другия диагонал.

[Knowledge Greedy]

Моля за извинение mail_dinko, че ходя след него и ръся "мъдрости"!
Но ми се струва, че мога да кажа нещо съвсем кратко (при желание дори с липса на чертеж))

Равнинната подзадача е за ромб, който се състои от два равностранни триъгълници- единият диагонал е колкото страната на ромба, т.е. [tex]4[/tex]. След като призмата е права, а околният ръб е също [tex]4[/tex], тангенсът на ъгъла, който този диагонал сключва с основатае [tex]\frac{4}{4}=1[/tex], значи сключеният ъгъл от този диагонал и основата има мярка [tex]45^\circ[/tex].

Вторият диагонал на ромба е [tex]4\sqrt{3}[/tex] и отново - тангенсът на ъгъла, който този диагонал сключва с основата е [tex]\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex], значи сключеният ъгъл от този диагонал и основата има мярка [tex]30^\circ[/tex].