Граница на ЧР

[Гост]

Как да докажем, че [tex]\frac{4^{n}}{n^{n}}[/tex] = 0 ?

Аз мисля, че е това [tex](\frac{4}{n})^{n} = 0[/tex], но все пак да попитам.

[Sup3rlum]

Добре си дал функционала, но накъде отива? $0$ ?$+\infty$ ?

Ако става въпрос за $n \to +\infty$, тогава $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n}{n^n}=\lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{4}{n}\bigg)^n=0$ защото за $n > 4$ дробта е $< 1$

Друг начин е ако се вземе $f(x)=\bigg(\frac{4}{x}\bigg)^x$, $f(x) > 0$ за всяка стойност на $x$

$f'(x)=-f(x).(ln(x)-ln(4)+1)$

От тук се вижда, че $f(x)$ е намаляща за $x> 4 \Rightarrow$ $\lim_{x \to \infty} f(x)=0$

Ако искаш баш доказателство гледай $epsilon-delta$ някъде из нета трябва да има.

[vezni]

Може би имаш предвид [tex]\frac{4^n}{n^n}\to 0[/tex] или [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{4^n}{n^n}=0[/tex]? Както си го написал, е очевидно грешно. Дробта е винаги положителна за [tex]n>0[/tex].

Нека [tex]n>8[/tex]. Тогава [tex]\frac 4n<\frac 12\Rightarrow 0<\left(\frac 4n\right)^n<\left(\frac 12\right)^n[/tex]
Сега използвай основна задача: [tex]\lim_{n\to\infty}a^n=0[/tex] за [tex]|a|<1[/tex], откъдето следва
[tex]\lim_{n\to\infty}\left(\frac 12\right)^n=0[/tex] и значи [tex]\lim_{n\to\infty}\left(\frac 4n\right)^n=0[/tex]