Зад. 1:
Ние извеждахме и ни преподаваха формулата за дължина на ъглополовяща, която е доста полезна в много случаи и на която се базира първият ни подход: ако $m$ и $n$ са частите, на които ъглополовящата разделя срещулежата й страна, а $a$ и $b$ са прилежащите й страни, то $l^2 = ab - mn$.
Директно приложено в задачата, където $AC = m+n$, това ни дава $36 = 48 - mn \Rightarrow mn = 12$.
Комбинирано със свойството на ъглополовящата, според което $\frac{m} {n} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$, това ни дава приятната за решаване система:
[tex]\begin{array}{|l} mn = 12 \\ \frac{m} {n} = \frac{4}{3}\end{array}[/tex]
Откъдето лесно намираме $AC = m + n = 7$
Вече имаме трите страни и търсения косинус на ъгъла намираме директно с косинусова тоерема:
$cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{36 + 49 - 64}{2.6.7} = \frac{1}{4}$
Ако не си учил тази формула и не искаш да я извеждаш, за да я ползваш, има и друг вариант, отново със свойството на ъглополовящата, но и с две косинусови теореми, за да намерим $AC$. После с другия косинус пак е същото.
Отбелязваме пак $AL = m, LC = n$, също $\angle ABL = \angle LBC = \frac{\beta} {2}$ и в съответните триъгълници правим косинусови теореми, според които:
$cos\frac{\beta} {2} = \frac{64 + 36 - m^2}{2.8.6} = \frac{36 + 36 - n^2}{2.6.6}$
Оттам получаваме $12 = 3m^2 - 4n^2$.
Комбинираме с отношението, дадено ни от свойството на ъглополовящата, и получаваме отново приятна система:
$\begin{array}{|l} \frac{m} {n} = \frac{4}{3} \\ 3m^2 - 4n^2 = 12\end{array}$
Оттам нататък вече всичко е същото.
Меню
