Неравенство

[Гост]

Може ли някой да ми помогне как да докажа това неравенство ln(1+[tex]x^{2}[/tex])[tex]\le[/tex][tex]x^{2}[/tex]
x[tex]\in[/tex] (-[tex]\infty[/tex], +[tex]\infty[/tex])

[Davids]

Дефинираме $f(x) = ln(1+x^2) - x^2$

Тогава $f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2} - 2x = 2x(\frac{1}{1 + x^2} - 1) = \frac{-2x^3}{1 + x^2}$

Значи функцията има локален максимум при $x_0 = 0$, с което $f_{max}(x) = f(x_0) = f(0) = 0$.

Тоест, $f(x) \le 0$, от което следва, че $ln(1 + x^2) \le x^2 ~~~\forall x\in \R$.