Изследване на функция

[Гост]

функцията е y = [tex]\frac{x^{4}}{x^{3}-1}[/tex]

y'' = [tex]\frac{6x^{2}(x^{3})+2}{(x^{3}-1)^{3}}[/tex]

за y"=0 получвам x=0, x = - [tex]\sqrt[3]{2}[/tex] (това ли е инфл.точка?)

след това в таблицата където нанасяме x, y, y', y'' и изследваме функцията трябва ли да включа и тези точки за х ([tex]-\infty[/tex] -[tex]\sqrt[3]{2}[/tex] 0 [tex]\sqrt[3]{4}[/tex] [tex]+\infty[/tex])

[Knowledge Greedy]

[tex]y=\frac{x^4}{x^3-1}[/tex]

[tex]y'=\frac{x^3(x^3-1)-x^4.3x^2}{(x^3-1)^2}[/tex]

[tex]y''=-\frac{6x^2(x^3+2)}{(x^3-1)^3}[/tex]

При описване (в таблица) изменението на функцията включваме всички забележителни точки (аргументи [tex]x[/tex]):
- нулите на функцията - т.е. [tex]y=0 \,\ \Rightarrow \,\ x=0[/tex]
- нулите на първата производна на функцията - т.е. [tex]y'=0 \,\ \Rightarrow \,\ x=0 (тя \,\ се \,\ повтаря) и \sqrt[3]{4}[/tex]
- нулите на втората производна на функцията - т.е. [tex]y''=0 \,\ \Rightarrow \,\ x=0 (тя \,\ се \,\ потретва) и -\sqrt[3]{2}[/tex]
- краищата на дефиниционните интервали [tex]-\infty , 1 \,\ и \,\ +\infty[/tex] - в случая;

По първия въпрос. Инфлексна е точка, в която се сменя огънатостта на графиката ( респективно - смяна на изпъкналост с вдлъбнатост).
Точката [tex]x=0[/tex] не е такава.
Виж [tex]y''(0)=0[/tex] но за близки до нулата числа [tex]y''(x)>0[/tex] и при [tex]x<0[/tex] и при [tex]x>0[/tex]
Затова само [tex]-\sqrt[3]{2}[/tex] е инфлексна точка.

[Гост]

Благодаря за отговора, ако може да попитам сега за изпъкналост и вдлъбнатост в този случай така ли ще е:
От -[tex]\infty[/tex] до [tex]-\sqrt[3]{2}[/tex] - изпъкнала
от [tex]-\sqrt[3]{2}[/tex] до 0 вдлъбната
от 0 до [tex]\sqrt[3]{4}[/tex] изпъкнала и
от [tex]\sqrt[3]{4}[/tex] до [tex]\infty[/tex] - изпъкнала

[tex]y=\frac{x^4}{x^3-1}[/tex]

[tex]y'=\frac{x^3(x^3-1)-x^4.3x^2}{(x^3-1)^2}[/tex]

[tex]y''=-\frac{6x^2(x^3+2)}{(x^3-1)^3}[/tex]

При описване (в таблица) изменението на функцията включваме всички забележителни точки (аргументи [tex]x[/tex]):
- нулите на функцията - т.е. [tex]y=0 \,\ \Rightarrow \,\ x=0[/tex]
- нулите на първата производна на функцията - т.е. [tex]y'=0 \,\ \Rightarrow \,\ x=0 (тя \,\ се \,\ повтаря) и \sqrt[3]{4}[/tex]
- нулите на втората производна на функцията - т.е. [tex]y''=0 \,\ \Rightarrow \,\ x=0 (тя \,\ се \,\ потретва) и -\sqrt[3]{2}[/tex]
- краищата на дефиниционните интервали [tex]-\infty , 1 \,\ и \,\ +\infty[/tex] - в случая;

По първия въпрос. Инфлексна е точка, в която се сменя огънатостта на графиката ( респективно - смяна на изпъкналост с вдлъбнатост).
Точката [tex]x=0[/tex] не е такава.
Виж [tex]y''(0)=0[/tex] но за близки до нулата числа [tex]y''(x)>0[/tex] и при [tex]x<0[/tex] и при [tex]x>0[/tex]
Затова само [tex]-\sqrt[3]{2}[/tex] е инфлексна точка.

[Knowledge Greedy]

Хубаво, че попита - да разбера, че не знаеш да решаваш неравенства.

Числото [tex]x=1[/tex] е точка на смяна на знака в знаменателя - при това без да е инфлексна, защото не е от дефиниционното множество.

Ето защо изпъкналост фунцията придобива при

[tex]y''=-\frac{6x^2(x^3+2)}{(x^3-1)^3} >0 \,\ \Leftrightarrow \,\ x\in(-\sqrt[3]{2}; 1)[/tex]

_____________________
Числото [tex]\sqrt[3]{4}[/tex] е невинно, то няма нищо общо с втората производна.

Числото [tex]\sqrt[3]{4}[/tex] няма как да е инфлексна точка, защото е екстремална точка!!!! Там първата производна става нула.