Задача стереометрия

[Ivan08]

Дължината на околния ръб на правилна триъгълна пирамида е l, а големината на ъгъла, заключен между основен и околен ръб, е α .
През центъра на основата на пирамидата минава равнина, която е успоредна на два непресичащи се ръба.
а) Да се докаже, че сечението на равнината с пирамидата е
правоъгълник.
б) Да се намери лицето на сечението.

[mail_dinko]

Трудно ми е да си представя триъгълна пирамида с 2 непресичащи се ръба

[S.B.]

Дължината на околния ръб на правилна триъгълна пирамида е l, а големината на ъгъла, заключен между основен и околен ръб, е α .
През центъра на основата на пирамидата минава равнина, която е успоредна на два непресичащи се ръба.
а) Да се докаже, че сечението на равнината с пирамидата е
правоъгълник.
б) Да се намери лицето на сечението.

Без заглавие - 2020-06-13T154102.418.png (352.9 KiB) Прегледано 369 пъти

Построение:
За "център" на основата на пирамидата приемам медицентъра $О$ върху който се проектира върхът на правилната триъгълна пирамида $DABC$.Два непресичащи се ръба са основен и срещулежащия му околен ръб.Нека това са $BC$ и $AD$
През медицентъра на основата т.$O$ построявам права успоредна на околния ръб $AD$, която пресича апотемата на стената $BCD$ - $DK$ в т.$G$
През т.$G$ в равнината $(BCD)$ построявам права $p$ успоредна на $BC$,[tex]p\cap BD = P ,p\cap CD = Q[/tex]
През т.$O$ в равнината $(ABC)$ построявам права $q$, успоредна на $BC$ , $ q\cap AB = M , q\cap AC = N$
Пплученото сечение $MNQP$ е успоредно на $AD$ защото минава през $OG||AD$ и успоредно на $BC$ защото минава прес $MN||BC$ и $PQ||BC$
а)
$MN || BC , PQ||BC \Rightarrow MN|| PQ$
От $\triangle AKD \rightarrow \frac{AK}{AO} = \frac{3}{2} ,GO|| AD \Rightarrow \frac{DK}{DG} = \frac{3}{2}$
В $\triangle ABC \rightarrow ,MN|| BC ,\frac{BC}{MN} = \frac{3}{2} \Rightarrow MN = \frac{2}{3}BC$
В $\triangle BCD \rightarrow ,PQ||BC ,\frac{BC}{PQ} = \frac{3}{2} \Rightarrow PQ = \frac{2}{3}BC$
$\Rightarrow MN = PQ = \frac{2}{3} BC$
От $\begin{cases} MN || PQ \\ MN = PQ \end{cases} \Rightarrow MNQP$ е успоредник
$OA$ е проекция на $AD$ в равнината на основата $ABC$ ,$OA\bot BC \Rightarrow AD\bot BC$ по теоремата за трите перпендикуляра
Тогава $MNQP$ е правоъгълник
б)
Нека $BK = \frac{a}{2}$
По условие $BD = l ,\angle CBD = \alpha$
От $\triangle BCD \rightarrow \frac{a}{2l} = cos\alpha \Rightarrow a= 2lcos\alpha$
От подусловие а) имаме $MN = \frac{2}{3} BC \Rightarrow MN = \frac{4l}{3}cos\alpha$
Аналогично $OG = \frac{2}{3}AD \Rightarrow OG = \frac{2l}{3}$
$S_{MNQP } = MN.OG = \frac{4l}{3}cos\alpha.\frac{2l}{3} = \frac{8l^{2}}{9}cos\alpha$

[Ivan08]

Много Ви благодаря!