права призма

[Leni191989]

Основата на права призма е равнобедрен триъгълник АВС, в който AC=BC=10 cm и AB=12 cm. През АВ е прекарана равнина Р(ро), сечението на която с призмата е равнобедрен триъгълник с ъгъл между бедрата, равен на [tex]\alpha[/tex].
а) Намерете ъгъла, образуван от Р(ро) и равнината на основата на призмата.
б) Намерете обема на призмата, ако Р(ро) дели околната й повърхнина на части с лица, които се отнасят, както 1:5.

[S.B.]

Основата на права призма е равнобедрен триъгълник АВС, в който AC=BC=10 cm и AB=12 cm. През АВ е прекарана равнина Р(ро), сечението на която с призмата е равнобедрен триъгълник с ъгъл между бедрата, равен на [tex]\alpha[/tex].
а) Намерете ъгъла, образуван от Р(ро) и равнината на основата на призмата.
б) Намерете обема на призмата, ако Р(ро) дели околната й повърхнина на части с лица, които се отнасят, както 1:5.

Без заглавие - 2020-06-14T185355.223.png (262.07 KiB) Прегледано 514 пъти

а)
Нека равнината $\epsilon$ отсича от призмата сечението $(ABM)$ ,като $M \in CC_{1 }$( нямам буква "ро" за това я замених с $\epsilon$)
[tex]CN\bot AB\Rightarrow CN^{2} = BC^{2} - BN^{2} \Leftrightarrow CN =\sqrt{100 - 36}\Rightarrow CN = 8[/tex] (Питагорова теорема за $\triangle CBN$)
$NM \bot AB$ за $\triangle NBM \rightarrow \frac{MN}{NB} = cotg\frac{\alpha}{2} \Rightarrow MN = 6cotg\frac{\alpha}{2}$
От $\triangle MCN \rightarrow \angle MCN = 90^\circ ,NC$ е ортогоналната проекция на $NM$ в равнината $(ABC) \Rightarrow$
$ cos\varphi =\displaystyle \frac{CN}{MN} \Leftrightarrow cos\varphi = \displaystyle\frac{8}{6cotg\frac{\displaystyle\alpha}{2}} \Rightarrow cos\varphi =\displaystyle \frac{4}{3}tg\frac{\displaystyle\alpha}{2}$ , където $\varphi$ е ъгълът между сечението и равнината на основата
$$cos\varphi = \displaystyle\frac{4tg\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{3}$$

б)
$cos\varphi = \displaystyle\frac{4tg\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{3} \Rightarrow sin\varphi = \sqrt{1 - cos^{2}\varphi} \Rightarrow sin\varphi = \frac{1}{3}\sqrt{9 - 16tg^{2}\frac{\alpha}{2}}$
От $\triangle MCN \rightarrow \frac{CM}{MN} = sin\varphi \Leftrightarrow CM = MN.sin\varphi \Leftrightarrow CM = 6cotg\frac{\alpha}{2}.\frac{1}{3}\sqrt{9 - 16tg^{2}\frac{\alpha}{2}}$
$CM = 2cotg\frac{\alpha}{2}\sqrt{9 - 16tg^{2}\frac{\alpha}{2}}$
Нека околната повърхнина на тялото ограничено от долната основа и равнината на сечението означим с $S_{ABCM }$,
а другата част от околната повърхнина означим с $S_{ABMA_{1 }B_{1 }C_{1 } }$,която е по-голямата част,защото включва и стената $ABB_{1 }A_{1 }$
По условие $S_{ABCM } : S_{ABMA_{1 }B_{1 }C_{1 } } = 1 : 5 \Rightarrow S_{ABCM } = \frac{1}{6} S_{ок }$
$S_{ABCM } = S_{\triangle ACM } + S_{\triangle BCM } \Leftrightarrow S_{ABCM } = \frac{AC + BC}{2}.MC \Leftrightarrow S_{ABCM } = \frac{20}{2}.2cotg\frac{\alpha}{2}\sqrt{9 - 16tg^{2}\frac{\alpha}{2}} \Rightarrow$
$S_{ABCM } = 20cotg\frac{\alpha}{2}\sqrt{9 - 16tg^{2}\frac{\alpha}{2}}$
Но $S_{ABCM } = \frac{1}{6}S_{ok } \Rightarrow$ $$ S_{ок } = 120 cotg\frac{\alpha}{2}\sqrt{9 - 16tg^{2}\frac{\alpha}{2}}$$

[S.B.]

Но $S_{ABCM } = \frac{1}{6}S_{ok } \Rightarrow$ $$ S_{ок } = 120 cotg\frac{\alpha}{2}\sqrt{9 - 16tg^{2}\frac{\alpha}{2}}$$

Всъщност чак сега забелязвам,че съм намерила само околната повърхнина на призмата,а съм пропуснала обема

[tex]S_{ок } = P.h \Leftrightarrow S_{ок } = 32.CC_{1 } \Leftrightarrow 120cotg\frac{\alpha}{2}\sqrt{9 - 16tg^{2}\frac{\alpha}{2}} = 32.CC_{1 } \Rightarrow CC_{1 } = \displaystyle\frac{15cotg\frac{\alpha}{2}\sqrt{9 - 16tg^{2}\frac{\alpha}{2}}}{4}[/tex]
$ V_{ABCA_{1 }B_{1 }C_{1 } } = B.h $
$B = \frac{12.8}{2} = 48 , V = 48.CC_{1 } \Rightarrow$ $$V = 90cotg\frac{\alpha}{2}\sqrt{9 - 16tg^{2}\frac{\alpha}{2}}$$