правилна четириъгълна пирамида

[Leni191989]

Основният ръб на правилна четириъгълна пирамида е а, а двустенният ъгъл при основата е 2[tex]\alpha[/tex]. През основният ръб на пирамидата е прекарана равнина р (ро), която образува с равнината на основата ъгъл [tex]\alpha[/tex] .
a) Да се намери лицето на пълната повърхнина на пирамидата.
б) Да се определи видът на полученото сечение на пирамидата с равнината р (ро) и да се намери лицето му.

[S.B.]

Основният ръб на правилна четириъгълна пирамида е а, а двустенният ъгъл при основата е 2[tex]\alpha[/tex]. През основният ръб на пирамидата е прекарана равнина р (ро), която образува с равнината на основата ъгъл [tex]\alpha[/tex] .
a) Да се намери лицето на пълната повърхнина на пирамидата.
б) Да се определи видът на полученото сечение на пирамидата с равнината р (ро) и да се намери лицето му.

Без заглавие - 2020-06-15T142115.783.png (338.5 KiB) Прегледано 338 пъти

Построение:
Построявам сечение на пирамидата по апотемите $KQ$ и $PQ$ на стените $(BCQ)$ и $(ADQ)$ - триъгълникът $PKQ$
В [tex]\triangle PKQ[/tex] построявам ъглополовящата на $\angle QKP$ ,която пресича $PQ$ в т.$L$
В стената $(ADQ)$ построявам права $m \begin{cases} m Z L \\ m || AD \end{cases} , m\cap AQ = M , m\cap DQ = N$
$BCNM$ е търсеното сечение
а)
$S_{пълно } = S_{околно } + B_{осн. }$
$S_{ok. } = \frac{P.k}{2} = \frac{4a.k}{2}$
От $\triangle HKQ \rightarrow \frac{HK}{KQ} = cos2\alpha \Leftrightarrow HK = KQ.cos2\alpha \Leftrightarrow \frac{a}{2} = k.cos2\alpha \Rightarrow k = \frac{a}{2cos2\alpha}$
$S_{ок } = \frac{1}{2}.4a.\frac{a}{2cos2\alpha} = \frac{a^{2}}{cos2\alpha}$

$S_{п } = \frac{a^{2}}{cos2\alpha} + a^{2} = \frac{a^{2}}{cos2\alpha}(1 + cos2\alpha) = 2a^{2}\frac{cos^{2}\alpha}{cos2\alpha}$
$$S_{пълна } = \frac{2а^{2}cos^{2}\alpha}{cos2\alpha}$$
б)
$MN||AD , AD||BC \Rightarrow MN||BC$
$\triangle ADQ \approx \triangle MNQ \Rightarrow \frac{MN}{AD} = \frac{QL}{QP } \Rightarrow MN = \frac{QL}{QP}.AD$
$L$ е вътрешна точка за $QP \Rightarrow QL < QP \Rightarrow \frac{QL}{QP} < 1 \Rightarrow MN<AD $ , но $AD = BC \Rightarrow MN<BC$
$BC||MN,NM< BC \Rightarrow BCNM$ е трапец
$PK$ е ортогонална проекция на $LK$ в равнината $ABCD$ , $PK \bot AD \Rightarrow LK\bot AD$ но $MN||AD \Rightarrow LK \bot MN$
Получи се,че $BCNM$ е трапец с основи $BC$ и $NM$ и височина $LK$
$S_{BCNM } = \frac{BC + NM}{2}.LK$
От $\triangle PKL\rightarrow \angle PLK = 180^\circ - 3\alpha \Rightarrow \angle QLK = 3\alpha$ (като съседен ъгъл)

За $\triangle QLK$ прилагам Синусова теорема:

$\frac{LQ}{sin\alpha} = \frac{QK}{sin3\alpha} \Leftrightarrow LQ = sin\alpha.\frac{k}{sin3\alpha} \Rightarrow LQ = \frac{a.sin\alpha}{2.cos2\alpha. sin3\alpha}$

$MN = \displaystyle\frac{LQ}{PQ}.AD \Leftrightarrow MN = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a.sin\alpha}{2.cos2\alpha.sin3\alpha}}{\displaystyle\frac{a}{2.cos2\alpha}} .a \Rightarrow MN = \frac{a.sin\alpha}{sin3\alpha}$

За $\triangle KPL$ прилагам Синусова теорема:

$\frac{LK}{sin2\alpha} = \frac{PK}{sin(180^\circ - 3\alpha} \Leftrightarrow \frac{LK}{sin2\alpha} = \frac{a}{sin3\alpha} \Rightarrow LK = \frac{a.sin2\alpha}{sin3\alpha}$

$S_{BCNM } = \frac{BC + MN}{2}.LK \Leftrightarrow$

$ S_{BCNM } = \frac{1}{2}(\frac{a.sin\alpha}{sin3\alpha} + a).\frac{a.sin2\alpha}{sin3\alpha} = \frac{a^{2}.sin2\alpha}{2sin^{2}3\alpha}(sin\alpha + sin3\alpha) = \frac{a^{2}.sin2\alpha}{2sin^{2}3\alpha}.2.sin2\alpha.cos\alpha$
$$S_{BCNM } = \frac{a^{2}sin^{2}2\alpha.cos\alpha}{sin^{2}3\alpha}$$