Намерете разстоянието от върха А1 до равнината (DВВ1)

[Гост]

2. Дадена е правилна четириъгълна призма АВСДА1В1С1Д1 с основен ръб а.Намерете разстоянието от върха А1 до равнината(ДВВ1 ).

3.Краищата на отсечка са на разстояния 10 см. и 4 см. от дадена равнина.Намерете разстоянието от средата на отсечката до равнината , ако отсечката пресича равнината.

[Евва]

3 зад.Нека [tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex] е хоризонтална отсечка .Нека т.А се намира под отс.[tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex] ,като А[tex]А_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex] и А[tex]А_{1 }[/tex]=4 см.
Нека т.В се намира над отс.[tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex] ,като В[tex]В_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex] и В[tex]В_{1 }[/tex]=10 см.
Нашата отсечка е АВ ,тя пресича равнината [tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex] в т.С .
Да означим средата на отс.АВ с т.S .Построяваме отс. S[tex]S_{1 }[/tex] ,като т.[tex]S_{1 }[/tex] лежи на отс. [tex]A_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex] и S[tex]S_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex][tex]A_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex] .

S[tex]S_{1 }[/tex]=x=?

[tex]\triangle[/tex]АС[tex]А_{1 }[/tex][tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]С[tex]В_{1 }[/tex]В (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AA_{1 }}{BB_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{AC}{BC}[/tex] т.е. [tex]\frac{4}{10}[/tex]=[tex]\frac{AC}{BC}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AC=2b ,BC=5b (1)
AB=AC+BC=2b+5b=7b (2)

Тогава BS=[tex]\frac{AB}{2}[/tex]=[tex]\frac{7b}{2}[/tex] (3)
AC+CS+BS=AB [tex]\Rightarrow[/tex] 2b+CS+[tex]\frac{7b}{2}[/tex]=7b[tex]\Rightarrow[/tex] CS=[tex]\frac{3b}{2}[/tex] (4)

[tex]\triangle[/tex]AC[tex]A_{1 }[/tex][tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]C[tex]S_{1 }[/tex]S (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AA_{1 }}{SS_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{AC}{SC}[/tex] (виж 1 и 4) ; [tex]\frac{4}{х}[/tex]=[tex]\frac{2b}{\frac{3b}{2}}[/tex]

[tex]\frac{4}{x}[/tex]=[tex]\frac{4b}{3b}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] x=S[tex]S_{1 }[/tex]=3 см.

[S.B.]

2. Дадена е правилна четириъгълна призма АВСДА1В1С1Д1 с основен ръб а.Намерете разстоянието от върха А1 до равнината(ДВВ1 ).

Без заглавие - 2020-11-10T171705.727.png (276.52 KiB) Прегледано 234 пъти

Разстоянието от т.$A_{1 }$ до равнината $(DBB_{1 })$ е дължината на перпендикуляра спуснат от т.$A_{1 }$ към равнината $(DBB_{1 })$
Ще докажа,че дължината на този перпендикуляр е дължината на $OA_{1 }$
Построявам по [tex]BD || B_{1 }D_{1 }[/tex] равнината $DBB_{1 }D_{1 }$
$т.D, т.B , т.B_{1 } \in BDD_{1 }B_{1 }$ , но по три точки може да се построи само една равнина $\Rightarrow (DBB_{1 })\equiv (DBB_{1 }D_{1 })$
По $AC || A_{1 }C_{1 }$ построявам равнината $ACC_{1 }A_{1 }$
$AC\cap BD = O , A_{1 }C_{1 }\cap A_{1 }C_{1 } = O_{1 } \Rightarrow OO_{1 }$ е пресечница на равнините $(ACC_{1 }A_{1 })$ и $(BDD_{1 }B_{1 })$
$\begin{cases} AO = A_{1 }O_{1 } \\ AO || A_{1 }O_{1 } \end{cases} \Rightarrow AOO_{1 }A_{1 }$ е успоредник $\Rightarrow AA_{1 }||OO_{1 }$

$\begin{cases} AA_{1 } \bot A_{1 }B_{1 } \\ AA_{1 } \bot A_{1 }D_{1 } \end{cases} \Rightarrow AA_{1 }\bot (A_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 })$

$AA_{1 } || OO_{1 } \Rightarrow OO_{1 } \bot (A_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }) \Rightarrow OO_{1 }\bot OA_{1 }$
$A_{1 }C_{1 } \bot B_{1 }D_{1 }$ като диагонали на квадрат $\Rightarrow A_{1 }O \bot B_{1 }D_{1 }$
От $\begin{cases} OA_{1 }\bot OO_{1 } \\ OA_{1 }\bot B_{1 }D_{1 }\end{cases} \Rightarrow OA_{1 } \bot (BDB_{1 }D_{1 })$
От квадрата $A_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 } \Rightarrow A_{1 }C_{1 } = a\sqrt{2}$
$OA_{1 } = \frac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow$ разстоянието от т.$A_{1 }$ до равнината $BDD_{1 }B_{1 }$ е $\frac{a\sqrt{2}}{2}$