Моля, който може да помогне да реши задачата

[Гост]

Дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA1AB1C1D1 с основен ръб AB=а и височина AA1=h. Тоюка М е средата на ръба DD1. Рашнината, определена от точките A,B,M, пресича ръба СС1 в точка N. Намерете лицето S и периметъра P на четириъгълника ABNM.

[S.B.]

Дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA1AB1C1D1 с основен ръб AB=а и височина AA1=h. Тоюка М е средата на ръба DD1. Рашнината, определена от точките A,B,M, пресича ръба СС1 в точка N. Намерете лицето S и периметъра P на четириъгълника ABNM.

Без заглавие - 2020-11-12T144857.677.png (298.8 KiB) Прегледано 245 пъти

Построявам $MN || AB$
[tex]\begin{cases} MN||AB \\ AB || CD \end{cases} \Rightarrow MN || DC ,\begin{cases} MN||DC \\DM || CN \end{cases} \Rightarrow DCNM[/tex]е успоредник $\Rightarrow MN = DC = a$

$\begin{cases} MN = a \\ AB = a \end{cases} \Rightarrow MN = AB, \begin{cases} MN= AB \\ MN||AB \end{cases} \Rightarrow ABNM $ е успоредник

$\begin{cases} AB\bot AD\\ AB \bot AA_{1 }\end{cases} \Rightarrow AB \bot (ADD_{1 }A_{1 }) \Rightarrow AB $ е перпендикулярна на всяка права от тази равнина
$\Rightarrow AB \bot AM \Rightarrow ABNM$ е правоъгълник
От $\triangle ADM$ по Питагор $\rightarrow AM^{2} = AD^{2} + DM^{2} \Leftrightarrow AM = \sqrt{(\frac{h}{2})^{2} + a^{2}} \Rightarrow AM = \frac{1}{2}\sqrt{h^{2} + 4a^{2}}$
$$P_{ABNM } = 2.AM + 2.AB \Leftrightarrow P_{ABNM } = 2a + \sqrt{h^{2} + 4a^{2}}$$
$$S_{ABNM } = AB.AM \Rightarrow S_{ABNM } = \frac{a}{2}\sqrt{h^{2} + 4a^{2}}$$