двустенен ъгъл

[4545]

Моля, който може да помогне

[S.B.]

Моля, който може да помогне

Без заглавие - 2020-11-20T215312.228.png (379.31 KiB) Прегледано 283 пъти

На чертежа търсеният ъгъл е означен с буква "пси", която за съжаление тук нямам,за това ще работя с буква $\varphi $
Двустенният ъгъл $\varphi$ между околните стени $BCM$ и $DCM$ се измерва с линейния ъгъл [tex]\angle BPD = \varphi[/tex] ,където $BP \bot CM ,DP \bot CM$
Разглеждам $\triangle NCM$ който се намира в стената $\triangle BCM$:
$\frac{NC}{MC} = cos\alpha \Leftrightarrow \frac{a}{2b} = cos\alpha \Rightarrow sin\alpha = \sqrt{1 - cos^{2}\alpha} = \frac{1}{2b}\sqrt{4b^{2} - a^{2}}$
От $\triangle BCP \rightarrow \frac{BP}{BC} = sin\alpha \Leftrightarrow BP = BC.sin\alpha \Rightarrow BP = \frac{a}{2b}\sqrt{4b^{2} - a^{2}}$
За $\triangle BPD$ в пирамидата прилагам Косинусова теорема:
$cos\varphi = \frac{BD^{2} - BP^{2} - DP^{2}}{-2.BP.DP}$ , където заместваш
$BD = a\sqrt{2}$ като диагонал в квадрата $ABCD$ със страна $a$
$DP = BP = \frac{a}{2b}\sqrt{4b^{2} - a^{2}}$
и получаваш косинуса от двустенния ъгъл $\varphi$
Успех!