правилна четириъгълна призма

[Leni191989]

Трябва да се построи басейн с форма на правилна четириъгълна призма с вместимост 256 литра така, че за облицовката му да се употреби най малко материал. Да се определи размерите на басейна?

[KOPMOPAH]

Да допуснем, че основният ръб на правилната четириъгълна призма на басейна е $a$, а дълбочината му - $b$. Тогава обемът му се изчислява по формулата$$V=a^2b=256~~~~~(1),$$а повърхността му е $$S=a^2+4ab~~~~~~~~(2).$$От $(1)$ изразяваме $$b=\frac {256}{a^2}$$ и заместваме в $(2)$. Получаваме функцията$$S(a)=a^2+\frac {1024}a,$$на която търсим минимума.

За целта намираме първа производна$$S'(a)=2a-\frac{1024}{a^2}$$и я приравняваме на $0$. Получава се не особено сложното уравнение$$a^3-512=0$$и като забележим, че $512=2^9=8^3$ спокойно можем да използваме формулата за разлика на кубове и стигаме до решението $$a^3-8^3=(a-8)(a^2+8a+64)=0 \Rightarrow a=8$$

Скрит текст: покажи

Мисля, че е ясно защо квадратният тричлен във вторите скобки няма решения в реални числа и уравнението има един реален корен, съответно съществува само един басейн с размери $8\times 8 \times 4$.