Задача с функции

[Henz]

Задача-Да се намерят стойностите на реалния параметър A,за които най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=x^{2 }-6ax+20[/tex] при [tex]x\in [-1;+\infty )[/tex] е равна на най-голямата стойност на функцията [tex]g(x)=9cosx[/tex] при [tex]x\in (-\infty;+\infty )[/tex]


решението ми е ясно до някъде ето го въпроса ми.Намираме че най-голямата стойност на функцията [tex]g(x)=9[/tex].Намираме и най-малката стойност на [tex]f(x),x=3a.[/tex]

Сега според решението което имам разглеждаме 2 случая.

1 случай [tex]3a<-1[/tex] при който най-малката стойност на функцията е [tex]f(-1)[/tex]

2 случай [tex]3a\ge -1[/tex] най-малката стойност на функцията е [tex]f(3a)[/tex]

Защо става така?Не трябва ли да е [tex]3a<0[/tex] и [tex]3a\in[0;+\infty )[/tex],и защо при [tex]3a<-1[/tex] при който най-малката стойност на функцията е [tex]f(-1)[/tex]?

[martin123456]

Търсим [tex]a[/tex], че НМС [tex]f(x) _{x \ge -1} = 9[/tex]. лявата страна още не сме определили колко е.
[tex]f(x)[/tex] е квадратна ф-ция , но търсим НМС и стойност в интервал. върхът и е в [tex]x_0=3a[/tex] и е обърната нагоре [tex]\Rightarrow[/tex] НМС [tex]f(x)_{\forall x} = f(3a)[/tex]. само че не знаем къде се намира [tex]-1[/tex] спрямо [tex]3a[/tex]. ако [tex]-1[/tex] е "преди" [tex]3a[/tex], то ясно че НМС си е в [tex]3a[/tex], но ако е след [tex]3a[/tex], то тя не е [tex]f(3a)[/tex], понеже [tex]3a \not \in [-1, +\infty)[/tex]. тъй като [tex]f(x) \uparrow x\ge 3a[/tex], то НМС [tex]f(x)_{x \ge -1} = f(-1)[/tex].
1) [tex]-1 \le 3a \Rightarrow f(3a)=9[/tex] и правим проверка после за намерените [tex]a[/tex]
2) [tex]-1 \ge 3a \Rightarrow f(-1) =9[/tex] и правим проверка после за намерените [tex]a[/tex]

[Henz]

Ама не разбирам даже защо трябва да се разглежда втория случай.Ако 3a е преди -1 то не влиза въобще в допустимите стойности,не разбрах защо трябва да е f(-1) в случая?

[martin123456]

да, то не влиза в " допустимите стойнсоти", но фунцкията пак има НГС

[Henz]

А защо е f(-1)?Нали 3a в случая е преди него,тоест не може никога да бъде -1?

[martin123456]

ще ти начертая след малко за да ме разбереш

[martin123456]

ето няколкоко картинки

[Henz]

Май го схванах. На картинката 3.2, [tex]3a[/tex] е след [tex]-1[/tex] и най-малката стойност на функцията в този интервал е [tex]f(-1)[/tex],правилно ли съм те разбрал?

[martin123456]

малко си коригирах чертежа
идеята на първия беше по принцип
ако решим че уравнението има 2 корена, можеш да погледнеш 2рата ми картинка, понеже там f пресича абсцисата => 2 корена
на 3.2 3a<-1. Ето защо най-малката стойност не е в 3а (въпреки че нмс на ф-цията е там). нмс сега избираш сред числата f(x), [tex]x \ge 1[/tex]. т.е. лилавото. в лилавото по чертежа 3.2. може да се види че нмс е в -1, защото ако избереш число по голямо от -1 стойнотта на f(числото) e по голяма от f(-1)

[Henz]

Значи правилно съм те разбрал. Благодаря ти.