Как се намират какви са асимптотите на дадена функция?

[MoDz]

Как се намират какви са асимптотите на дадена функция? Ето един пример:
Какви са асимптотите на графиката на функцията [tex]f(x)=\frac{x+3}{(x-2)(x^2-4)}[/tex]? Верният отговор е само една хоризонтална и две вертикални. А как да намеря колко хоризонтални и колко вертикални асимптоти има графиката на функцията?

[martin123456]

за хоризонтални гледаш [tex]\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)[/tex]:
1) [tex]\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x+3}{(x-2)(x^2-4)}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}{\frac{\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^3}}{(1-\frac{2}{x})(1-\frac{4}{x^2})}}=+0[/tex] [tex]\Rightarrow y=0[/tex] е хор асимптота

за веритиклана гледаш дали за някое [tex]a[/tex]: [tex]\lim_{x \rightarrow a}f(x)=\pm \infty[/tex]
2) [tex]\lim_{x \rightarrow 2}f(x)=+\infty[/tex]
3) [tex]\lim_{ x\rightarrow -2, x<-2}f(x)=-\infty[/tex] и [tex]\lim_{ x\rightarrow -2, x>-2}f(x)=+\infty[/tex] [tex]\Rightarrow x=2[/tex] и [tex]x=-2[/tex] са хоризонтални.

за наклонени, първо гледаш дали не е 0 следната граница [tex]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}[/tex]. тя е 0, затова няма наклонена асомптота.

[Гост]

[tex]\frac{x+7}{5-3x}[/tex]

[ammornil]

[tex]\frac{x+7}{5-3x}[/tex]

Вериткални асимптоти са там, където функцията не е дефинирана. С други думи, това са точките на перкъсване в ДМ.
[tex]\text{D}x: \hspace{0.7em} 5-3x\ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{5}{3} \Rightarrow x \in \left(-\infty; \frac{5}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{3}; +\infty\right)[/tex]
Вериткална асимптота за дадената функция е правата [tex]x=\frac{5}{3}[/tex]

Хоризонтални асимптоти се намират като се определи граница на функцията, когато аргументът клони към безкрайност.
[tex]\lim_{x \to -\infty}{\left(\frac{x+7}{5-3x} \right)}=\lim_{x \to -\infty}{\left(\frac{x\left(1+\frac{7}{x}\right)}{x\left(\frac{5}{x}-3\right)} \right)}=\lim_{x \to -\infty}{\left(\frac{1+\frac{7}{x}}{\frac{5}{x}-3} \right)}=...=\frac{1-0}{-0-3}=-\frac{1}{3}[/tex]

[tex]\lim_{x \to \infty}{\left(\frac{x+7}{5-3x} \right)}=\lim_{x \to \infty}{\left(\frac{x\left(1+\frac{7}{x}\right)}{x\left(\frac{5}{x}-3\right)} \right)}=\lim_{x \to \infty}{\left(\frac{1+\frac{7}{x}}{\frac{5}{x}-3} \right)}=...=\frac{1+0}{0-3}=-\frac{1}{3}[/tex]

Една хоризонтална асимптота: [tex]y=-\frac{1}{3}[/tex]

Скрит текст: покажи

Наклонени асимптоти се търсят там където [tex]x[/tex] клони към безкрайност, дали отношението на функцията към аргумента е число, различно от безкрайност и нула.
[tex]\lim_{x \to \pm\infty}{\left(\frac{x+7}{5-3x}\cdot \frac{1}{x} \right)}=0[/tex]