Трапец

[Гост]

Моля, помогнете:
1.ЪГЛОПОЛОВЯЩИТЕ НА ТЪПИТЕ ЪГЛИ НА ТРАПЕЦ СЕ ПРЕСИЧАТ ВЪРХУ ГОЛЯМАТА ОСНОВА В ТОЧКА М. НАМЕРЕТЕ СТРАНИТЕ НА ТРАПЕЦА, АКО ЪГЛОПОЛОВЯЩАТА НА ЪГЪЛ D E 13 cm, ЪГЛОПОЛОВЯЩАТА НА ЪГЪЛ С Е 15 cm, А ВИСОЧИНАТА НА ТРАПЕЦА – 12 cm
2. ДАДЕН Е ТРАПЕЦ АВСD С ОСНОВИ АВ=3 cm И СD=1 cm. В НЕГО МОЖЕ ДА СЕ ВПИШЕ И ОПИШЕ ОКРЪЖНОСТ. ДА СЕ НАМЕРИ ЛИЦЕТО НА ОПИСАНАТА ОКРЪЖНОСТ.

[Гост]

trape.PNG (36.57 KiB) Прегледано 425 пъти

Pitagor i Ptolemej

[S.B.]

Моля, помогнете:
1.ЪГЛОПОЛОВЯЩИТЕ НА ТЪПИТЕ ЪГЛИ НА ТРАПЕЦ СЕ ПРЕСИЧАТ ВЪРХУ ГОЛЯМАТА ОСНОВА В ТОЧКА М. НАМЕРЕТЕ СТРАНИТЕ НА ТРАПЕЦА, АКО ЪГЛОПОЛОВЯЩАТА НА ЪГЪЛ D E 13 cm, ЪГЛОПОЛОВЯЩАТА НА ЪГЪЛ С Е 15 cm, А ВИСОЧИНАТА НА ТРАПЕЦА – 12 cm
2. ДАДЕН Е ТРАПЕЦ АВСD С ОСНОВИ АВ=3 cm И СD=1 cm. В НЕГО МОЖЕ ДА СЕ ВПИШЕ И ОПИШЕ ОКРЪЖНОСТ. ДА СЕ НАМЕРИ ЛИЦЕТО НА ОПИСАНАТА ОКРЪЖНОСТ.

Без заглавие - 2021-01-25T163351.382.png (385.82 KiB) Прегледано 410 пъти

Първа задача

[tex]\begin{cases} \angle ADM = \angle MDC = \alpha\\ \angle AMD = \angle MDC = \alpha\end{cases} \Rightarrow \angle ADM = \angle AMD = \alpha \Rightarrow AM = AD[/tex]
[tex]\begin{cases} \angle DCM = \angle BCM = \beta\\ \angle DCM = \angle BMC = \beta\end{cases} \Rightarrow \angle BCM = \angle BMC = \beta \Rightarrow MB = BC[/tex]
От $\triangle DHM \rightarrow \frac{MH}{MD} = sin\alpha \Leftrightarrow sin\alpha = \frac{12}{13}, cos\alpha = \frac{5}{13}$

От $\triangle CHM \rightarrow \frac{HM}{CM} = sin\beta \Leftrightarrow sin\beta = \frac{4}{5} , cos\beta = \frac{3}{5}$
За $\triangle AMD$ прилагам Синусова теорема:
$\frac{DM}{sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{AM}{sin\alpha} \Leftrightarrow \frac{13}{sin2\alpha} = \frac{AM}{sin\alpha} \Leftrightarrow$
$ \displaystyle\frac{13}{2.sin\alpha.cos\alpha} = \displaystyle\frac{AM}{sin\alpha} \Rightarrow AM = \displaystyle\frac{13}{2.cos\alpha} = \displaystyle\frac{13}{2.\displaystyle\frac{5}{13}} \Rightarrow AM = 16,9$
За $\triangle MBC$ прилагам Синусова теорема с аналогични преобразувания:
$\displaystyle\frac{CM}{sin(180^\circ - \beta)} = \displaystyle\frac{MB}{sin\beta} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{15}{2.cos\beta} = MB \Rightarrow MB = \displaystyle\frac{15}{2.\displaystyle\frac{3}{5}} \Rightarrow BM = 12,5$
От $\triangle HCM \rightarrow \frac{HC}{CM} = cos\beta \Leftrightarrow HC = 15.\frac{3}{5} \Rightarrow HC = 9$

От $\triangle HDM \rightarrow\frac{HD}{DM} = cos\alpha \Leftrightarrow HD = 13.\frac{5}{13} \Rightarrow HD = 5$

Получихме:
$CD = CH + HD = 14$
$AB = AM + MB = 16,9 + 12,5 = 29,4$
$AD = AM = 16,9$
$BC = MB = 12,5$

Втора задача

Около трапеца $ABCD$ може да се опише окръжност $\rightarrow$ трапецът $ABCD$ е равнобедрен и $AD = BC$
В трапеца $ABCD$ може да се впише окръжност $\rightarrow AB + CD = AD + BC \Leftrightarrow 3 + 1 = 2.AD $
$\Rightarrow AD = BC = 2$
$DH\bot AB \Rightarrow AH = \frac{AB - CD}{2} \Leftrightarrow AH = 1$
От $\triangle AHD \rightarrow \frac{AH}{AD} = sin\angle ADH \Rightarrow sin\angle ADH = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle ADH = 30^\circ \Rightarrow \angle DAH = 60^\circ$
За $\triangle ADH$ прилагам Питагор и получавам $DH = \sqrt{3}$
За $\triangle HBD$ прилагам Питагор и получавам $BD = \sqrt{7}$
За $\triangle ABD$ прилагам Синусова теорема:
$\displaystyle\frac{BD}{sin60^\circ} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \Rightarrow R = \displaystyle\frac{\sqrt{21}}{3}$
$ S_{оп.окр. } = \frac{7\pi}{3}$

[Гост]

Много благодаря!