НМС на функция с параметър

[Гост]

asd.png (28.11 KiB) Прегледано 419 пъти

[S.B.]

asd.png

[tex]f(x) = x^{2} - 2mx + m + 1[/tex] $f(x) = 0 \Rightarrow x^{2} - 2mx + m + 1 = 0$
Според Виет :$ x_{1 } + x_{2 } = 2m , x_{1 }.x_{2 } = m + 1$
$g(x) = \frac{x_{1 }}{x_{2 }} + \frac{x_{2 }}{x_{1 }} = \frac{x_{1 }^{2}+ x_{2 }^{2}}{x_{1 }.x_{2 }} = \frac{(x_{1 } + x_{2 })^{2} - 2x_{1 }.x_{2 }}{x_{1 }.x_{2 }}$
След заместване се получава:
$g(x) = g(m) = \frac{4m^{2} - 2(m + 1)}{m + 1} = \frac{4m^{2} - 2m - 2}{m + 1}$
Д.М. $m \ne -1 $
$g'(x) = \frac{(8m - 2)(m + 1) - 4m^{2} + 2m + 2}{(m + 1)^{2}} = \frac{8m^{2} + 8m - 2m -2 - 4m^{2} + 2m + 2}{(m + 1)^{2}} $
$g'(x) = \frac{4m^{2} + 8m}{(m + 1)^{2}} = \frac{4m(m + 2)}{(m + 1)^{2}} \ge 0 \Leftrightarrow m(m + 2)\ge 0$

За $m \in (-\infty ; - 2] $ $ g(x) >0 $ : функцията расте и за $m = - 2$ приема своя абсолютен максимум
За $m \in [- 2; 0] $ ,$g(x) < 0$ : функцията намалява и при $m = 0$ приема своя абсолютен минимум
За $m\in (0 ; +\infty) ,g(x) > 0$ : функцията расте
Да разгледаме интервала $m \in ( - 1; 1]$
$ m = 0 \in ( - 1 ; + 1]$ и понеже за тази стойност функцията приема своя абсолютен минимум,то НМС е $g(0) = -2$