остроъгълен триъгълник

[Leni191989]

Даден е остроъгълен [tex]\triangle[/tex]ABC, за който [tex]\angle[/tex] BAC = 60[tex]^\circ[/tex]. Височините BD и CF (D[tex]\in[/tex] АС, F[tex]\in[/tex]AB) се пресичат в точка H. Симетралата на отсечката BH пресича АВ в точка Р, а симетралата на отсечката CH пресича АС в точка Q. Да се докаже, че точките Р, Н и Q лежат на една права.

[S.B.]

Даден е остроъгълен [tex]\triangle[/tex]ABC, за който [tex]\angle[/tex] BAC = 60[tex]^\circ[/tex]. Височините BD и CF (D[tex]\in[/tex] АС, F[tex]\in[/tex]AB) се пресичат в точка H. Симетралата на отсечката BH пресича АВ в точка Р, а симетралата на отсечката CH пресича АС в точка Q. Да се докаже, че точките Р, Н и Q лежат на една права.

Без заглавие - 2021-01-30T191612.748.png (322.94 KiB) Прегледано 454 пъти

За четириъгълника [tex]AFHD \rightarrow \angle A = 60^\circ , \angle D= \angle F = 90^\circ \Rightarrow \angle DHF = 120^\circ[/tex]

$\triangle AFC$ е правоъгълен $\angle A = 60^\circ \Rightarrow \angle ACF = 30^\circ$
$\triangle DHC $ е правоъгълен $\angle DCH = 30^\circ \Rightarrow \angle CHD = 60^\circ$
$S_{CH } \cap CH = K , S_{CH } \cap AC = Q ,\triangle QCK \cong \triangle QHK$ ( трети признак) $\Rightarrow \angle KHQ = \angle KCQ = 30^\circ$
$\angle DHC = 60^\circ \Rightarrow \angle DHQ = 30^\circ$

$\triangle ABD$ е правоъгълен , $\angle A = 60^\circ \Rightarrow \angle ABD = 30^\circ$
$\triangle FBH$ е правоъгълен $\angle FBH = 30^\circ \Rightarrow \angle FHB = 60^\circ$
$S_{BH }\cap BH = L , S_{BH }\cap AB = P ,\triangle PBL \cong \triangle PHL$ ( трети признак) $\Rightarrow \angle PHL = \angle PBL = 30^\circ$
$\angle FHL = 60^\circ \Rightarrow \angle FHP = 30^\circ$

$\angle QHD + \angle DHF + \angle FHP = \angle QHP \Leftrightarrow \angle QHP = 30^\circ + 120^\circ + 30^\circ \Rightarrow \angle QHP = 180^\circ \Rightarrow$
$ \angle QHP$ е изправен ъгъл $\Rightarrow$ точките $ Q,H, P$ лежат на една права