Успоредник - докажете, че точките лежат на една права

[Leni191989]

В успоредника ABCD е построена височена DH ( H [tex]\in[/tex] AB) и около [tex]\triangle[/tex]HBD е опосана окръжност, която пресича CD в точка Р. Докажете, че точките Н, Р и средата на АС лежат на една права.

[Nathi123]

ABCD- успоредник [tex]\Rightarrow AC\cap BD=O[/tex] и AO = CO ; BO=DO .Нека [tex]\angle AOD = \angle BOC = x ; DH\bot AB\Rightarrow BD=2R[/tex] ,където R e радиуса
на описаната около тр. BDH окръжност. [tex]\Rightarrow BP\bot CD ; \triangle BHD\cong \triangle BDP\Rightarrow BH=DP;AB=CD\Rightarrow AH=CP[/tex].
[tex]\triangle HBO\cong \triangle DPO\Rightarrow \angle DOP = \angle BOH=y ; \triangle AHO\cong \triangle CPO\Rightarrow \angle AOH= \angle POC=z[/tex]
[tex]\Rightarrow 2x+2y+2z=360^\circ \Rightarrow x+y+z=180 ^\circ[/tex] т.е. [tex]\angle POC + \angle COB + \angle HOB=180^\circ \Rightarrow P,O,H \in[/tex] 1 права .