Задача с функции

[Гост]

Нека f(x)=x^{2}/x-1 и g(x)=2x+1. Ъгълът, който допирателната към графиката на функцията u(x)=f(g(x)) сключва с положителната посока на оста Ox в точката на абсцисата x= - [tex]\sqrt{2}[/tex]/2 е:
Благодаря предварително!

[Добромир Глухаров]

$f(x)=\frac{x^2}{x-1};\ g(x)=2x+1$

$u(x)=f(g(x))=f(2x+1)=\frac{(2x+1)^2}{(2x+1)-1}=\frac{(2x+1)^2}{2x}$

$u'(x)=\frac{((2x+1)^2)'.(2x)-(2x+1)^2.(2x)'}{(2x)^2}=\frac{2.(2x+1).(2x+1)'.(2x)-(2x+1)^2.2}{4x^2}=\frac{8x(2x+1)-2.(2x+1)^2}{4x^2}=\\=\frac{2x+1}{4x^2}\cdot(8x-2(2x+1))=\frac{(2x+1)(4x-2)}{4x^2}=\frac{(2x+1)(2x-1)}{2x^2}=\frac{4x^2-1}{2x^2}$

$tg\alpha|_{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}=u'\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{4\cdot\frac{1}{2}-1}{2\cdot\frac{1}{2}}=2-1=1$

$\Rightarrow\alpha|_{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\pi}{4}$