Задача за перпендикулярни медиани

[Гост]

Медианите АА1 и CC1 на триъгълник ABC са перпендикулярни. Ако АА1=12 и CC1=8, колко е лицето на триъгълника?
A)64 Б)48 В)32 г)24

п.с. опитах с питагор да изразя страната AC, но след това много се забатачвам.
отговора е А), но искам помощ с решението

[Добромир Глухаров]

Нека $AA_1\cap CC_1=M$. В правоъгълния триъгълник $ACM$ си намерил катетите и хипотенузата, значи можеш да намериш височината към хипотенузата: $MM_1=\frac{16\sqrt{13}}{13}$. Чрез Талес или подобни триъгълници намираш височината в $\Delta ACC_1\to C_1C_2=\frac{24\sqrt{13}}{13}$. Следователно лицето $S_{\Delta ACC_1}=\frac{1}{2}AC.C_1C_2=\cdots=32$. Но понеже $CC_1$ е медиана, това е половината от търсеното лице.

[Добромир Глухаров]

Всъщност може и да не намираме височините: $S_{\Delta ACC_1}:S_{\Delta ACM}=C_1C_2:MM_1=CC_1:CM=3:2$

$S_{\Delta ACC_1}=1,5.S_{\Delta ACM}=1,5.AM.CM/2=1,5.(8.(16/3))/2=32$

[Евва]

( 2 начин ) Нека точка G е медицентър на [tex]\triangle[/tex]АВС .
Сигурно сте учили ,че трите медиани разделят триъгълника на шест равнолицеви триъгълника .т.е.
[tex]S_{AC_{1 }G }[/tex]=[tex]S_{C_{1 }BG }[/tex]=[tex]S_{GBA_{1 } }[/tex]=[tex]S_{GA_{1 }C }[/tex]=[tex]S_{GCB_{1 } }[/tex]=[tex]S_{AGB_{1 } }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]S_{ABC }[/tex]=6[tex]S_{AC_{1 }G }[/tex]
[tex]S_{ABC }[/tex]=6.[tex]\frac{1}{2}[/tex]AG.G[tex]C_{1 }[/tex]=3.[tex]\frac{2}{3}[/tex]A[tex]A_{1 }[/tex].[tex]\frac{1}{3}[/tex]C[tex]C_{1 }[/tex]=3.[tex]\frac{2}{3}[/tex].12.[tex]\frac{1}{3}[/tex].8 =64

[Гост]

[tex]S_{ABC}=3S_{AGC}=3\frac{\frac{2}{3}AA_1.\frac{2}{3}CC_1}{2}=64[/tex]